La fonction

peut s'exprimer simplement: si Ton pose

X = Acosf , elle devient

„, , A"(cosy-hv' — I sin ©)"-<- A" (cos<P — v' — isin<p)" A^cosncp F(^) = :^. =-^^:r-'

et en remplaçant 9 par sa valeur, arc cos ^ 9 on a

A" . cos ( n arc cos 7 l

Telle est la fonction entière et rationnelle de x, de degré n, qui, lorsque .r varie de — Aà H- A, s'écarte le moins possible de zéro.

491. M. Tchebitchefa appliqué le résultat précédent à la théorie de l'interpolation. Soit F (a?) une fonction que l'on cherche à représenter, pour des valeurs de la variable comprises entre — A et -+- A, par un polynôme de la forme

(i) A-hBjr-|-Cj?»H-. . .-H Ho;"-';

on détermine, comme on sait, les coefficients A, B, C,..., H, par la condition que pour n valeurs a?,, iTj,..., a?„ de a?, comprises entre —A et -l-A, la fonction soit égale au polynôme. Le choix des valeurs a?!, a?2,..., Xn est regardé comme indifférent, et l'on trouve plus simple habituellement de les prendre équidistantes; mais le raisonnement suivant montre qu'il est plus avantageux de les choisir autrement. La fonction ¥{x) étant égale au polynôme (i) pour les valeurs x,, a?^,..., x„ de 07, si Ton pose

le facteur P sera, pour chaque valeur de x, égal à Tune des valeurs que prend la ^ième dérivée de F {x), lorsque x varie de — A k -h A; supposons, en effet, que l'on

tm PREBilÈRE PARTIE. ~ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

attribue à P une valeur telle, que Téquation {i) soit exacte pour une valeur x„^t

de a;, comprise entre — A et -kA, Téquation

F(^)^A — Ba:-C^'...-Ha:^-' — P^'^""^'^^^""f'^'-'^^~^"^=o.

Adniettant les /n- i racines a?<, a?2,..., a?„+,, toutes comprises entre —A et -(-A, la dérivée du premier membre s'annule n fois entre les mêmes limites; la seconde dérivée s'annule n— i fois,..., et la nf^"^ dérivée une fois au moins. On a, par conséquent, pour une valeur de a? comprise entre — A et -+- A,

P est donc, comme nous l'avons annoncé. Tune des valeurs que prend F" ( a;), lorsqui^ X varie de —A a H- A.

L'erreur commise en remplaçant la fonction F (x) par le polynôme ( i ) peut, d'après ce qui précède, être représentée par

a désignant une valeur inconnue, variable avec x, mais toujours comprise entre — A et H- A.

Lorsque A est très-petit, si la dérivée F""^* (x) a pour ir= o une valeur finie et

déterminée, le facteur ^ varie peu, et le rapport de ses valeurs extrêmes

est peu différent de l'unité; on doit donc, pour obtenir la meilleure représentation possible, choisir les valeurs de x,, a?,,..., x„ de telle sorte que le produit

(X—X^) [X—Xi). . .{X—Tn)

s'écarte le moins possible de zéro, et l'on prendra par conséquent pour a?, , ar^, . . . , .r,, les racines de l'équation

('.es racines sont d'ailleurs faciles à obtenir; si l'on fait a? = Acosç, l'équation {'rj devient

cosn9 ^o, et l'on en lire

(9.Ar-|- Ott

9 =^ cos ■ ;

^ in '

les valeurs de a?,, x^....^ x„ sont par conséquent

, TT , 3?: , in — I h cos — 9 h cos — > • • • 9 h cos tt.

Elles s'interprètent géométriquement d'une manière élégante. Si Ton considère, en effet, sur l'axe des a?, l'intervalle auquel répondent les v^eurs considérées, et dont les extrémités ont pour abscisses — A et -f- A, en décrivant, sur cet intervalle comme diamètre, une demi-circonférence que l'on partagera en 2/i parties égales, les projections des points de division, pris de deux en deux, auront pour abscisses les valeurs de x pour lesquelles la fonction est égale au polynôme du degré n qui la représente le mieux.

1. De tous les polygones circonscrits à une courbe convexe, celui qui a Taire minime est touché parla courbe au point milieu de chaque côté.

2. Déterminer les plans passant par le centre d'un ellipsoïde, et coupant la surface suivant un cercle, parla condition que la distance maxima du centre à un point de la section soit indéterminée.

3. Appliquer la même méthode à la détermination des sections circulaires de la courbe

k. De tous les triangles sphériques de même surface, celui qui est équilatéral a le plus petit périmètre.