COURBURE DES LIGNES PLANES
Sens de la courbure.
492. Le mot courbure indique la déviation de la forme rectiligne. Lorsqu'une ligne n'est pas droite ou composée de lignes droites, elle est courbe et a en chaque point une courbure dirigée vers Tune des deux portions du plan qui sont séparées par la tangente. On dit que la courbe tourne sa concavité vers cette région, et sa convexité vers l'autre : la détermination du sens de la courbure est le premier problème que nous devons résoudre.
Si nous rapportons les points du plan à deux axes de coordonnées rectangulaires, une courbe a sa concavité tournée dans le sens des Y positifs lorsque, dans le voisinage du point de contact, son ordonnée est plus grande que celle de la tangente; dans le cas contraire, elle tourne sa concavité dans le sens des Y négatifs.
Soit y = (f [x) l'équation de la courbe considérée \ x eiy étant les coordonnées d'un de ses points, celles d'un point voisin son ta? + A et 9(0; + A); or on a
(i^{x-^h) = ^(x)-^h<^'{x)-\ o"{x^Bli);
rf[x)-\' hff' [x) étant l'ordonnée de la tangente, et A* étant toujours positif, on voit que le sens de la courbure dépend du signe de 9" [x-^Oh], c'est-à-dire, puisque h est très-petit, du signe de 9" [x). Lorsque 9"(.^^) est positif, l'ordonnée de la courbe est, dans le voisinage du point de contact, plus grande que celle de la tangente, la courbe tourne sa concavité dans le sens des Y positifs. Lorsque ^" [x] est négatif, la concavité est tournée dans le sens des Y négatifs ; dans le cas particulier où (f" {x) est égal a zéro, la différence 9 (a: h- A) — 9(0;) —A9' (a?), entre l'ordonnée de la courbe et celle de la tangente, change en général de signe avec A, la tangente traverse la courbe, et la courbure change de sens au point considéré qui est un point d'inflexion.
Définition de la courbure et du rayon de courbure.
493. On nomme courbure totale d'un arc plan sans inflexion, l'angle formé par ses tangentes extrêmes. Il faut entendre par là la somme des angles infiniment petits dont la tangente tourne successivement quand son point de contact passe d'une extrémité à l'autre, en parcourant l'arc tout entier. Si, par exemple, les extrémités coïncident, et qjue l'arc considéré forme une courbe convexe fermée, les tangentes extrêmes se confondent, mais la courbure totale est égale à quatre angles droits et non à zéro.
La courbure moyenne d'un arc est le rapport de la courbure totale à la longueur de l'arc.
La courbure d'une courbe en un point, est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit pris sur la courbe a partir de ce point. Elle est égale par conséquent à l'angle formé par les tangentes aux extrémités de l'arc infiniment petit, que Ton nommQ angle de contingence, divisé par la longueur de l'arc.
D'après ces définitions, la courbure d'un arc de cercle est égale au rapport de cet arc au rayon, et la courbure moyenne, indépendante de la longueur de l'arc, est égale à l'inverse du rayon; telle est aussi par conséquent la courbure d'un cercle en un quelconque de ses points.
Lorsque le rayon d'un cercle varie de zéro à l'infini, la courbure varie de l'infini à zéro; elle peut, par conséquent, prendre toutes les valeurs, et il existe toujours, pour chaque point d'une courbe, un cercle qui a même courbure qu'elle. Le rayon de ce cercle se nomme rayon de courbure, et le cercle lui même, placé de telle sorte qu'il touche la courbe au point considéré, en ayant sa concavité tournée du même coté, se nomme cercle de courbure,
494. Le centre de courbure est le centre du cercle de courbure. Il est le point d'intersection de deux normales infiniment voisines. Pour le démontrer, considérons un arc infiniment petit MM', et soient MO, M'O les normales à ses extrémités.
L'angle 0 est égal évidemment à l'angle de contingence de l'arc MM', et le rayon
JkMfLMf
de courbure de celui-ci est par conséquent la limite du rapport — tt-- D'un autre
côté, si du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, on décrit un arc de cercle MP, on a
Or MP et MM' sont des infiniment petits du premier ordre; chacun de ces arcs diffère de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, et la différence des cordes, moindre que M'P, est tout au plus du second ordre; MP et MM' peuvent donc être remplacés Tun par Taulre, et par conséquent la limite OM est égale au rayon de courbure.
Expression du rayon de courbure.
495. Soit y = ^ (.^j l'équation d'une courbe rapportée à des coordonnées rectangulaires : en nommant a l'angle formé par la tangente avec Taxe des X, on a
langa=^,
a = arc lang
L'angle de deux tangentes infiniment voisines, que l'on nomme angle de contingence, est la différence des angles qu'elles forment avec Taxe des X ; il a donc pour expression
, , (dv\ \dxj dx^ dot = d arc lang -/- = \ , \ ^ = , , . -
La courbure de la courbe au point considéré est, par définition, le rapport de l'angle da à l'arc correspondant ds: ov on ^
la courbure est donc égale à
d'r dx'
i-nm'
riiC PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et le rayon de courbure p, qui est l'inverse de la courbure, est par conséquent
Mm
Le cercle de courbure traverse la courbe.
496. Apres avois prouvé (474) que les distances maxima et minima d'un point a une courbe sont Tune et l'autre normales, nous avons cherché, sur une normale donnée, le point dont la distance à la courbe comptée sur cette normale n'est ni maxima ni minima, et tel, par conséquent, que le cercle tangentala courbe, et dont le point est le centre, soit intérieur d'un côté et extérieur de l'autre, traversant la courbe en même temps qu'il la touche. La distance d'un tel point à la courbe est précisément (474) le rayon de courbure dont nous venons de trouver l'expression, et par conséquent : le cercle de courbure traverse la courbe.
Il est facile de s'expliquer, a priori, pourquoi la courbe est traversée par son cercle de courbure. Le cercle et la courbe ont en effet même courbure au point qui leur est commun; mais, à partir de ce point, la courbure du cercle est constante, et celle de la courbe variable. C'est pour cela que les deux lignes se séparent; si la courbure de la courbe va en augmentant, celle-ci s'écarte de la tangente plus rapidement que le cercle auquel elle est par conséquent intérieure. Si au contraire la courbure va en diminuant, la courbe est extérieure au cercle. Or il est clair qu'à partir d'un point quelconque, la courbure augmente, lorsqu'on se déplace dans un sens, et diminue lorsqu'on suit la direction opposée. La courbe est donc intérieure d'un côté et extérieure de l'autre à son cercle de courbure. Il y a exception pour les points où la courbure est maxima ou minima ; de quelque côté qu'on s'en éloigne, en effet, la courbure varie dans le même sens, et par conséquent le cercle de courbure est, dans ce cas, intérieur ou extérieur k la courbe: c'est ce qui a lieu, par exemple, au sommet d'une ellipse; à l'extrémité du petit axe, la courbure est minima, et le cercle de courbure est extérieur à la courbe; à l'extrémité du grand axe, au contraire, la courbure est maxima, et le cercle de courbure est intérieur; en tout autre point, le cercle de courbure traverse la courbe.
Diverses expressions du rayon de courbure.
497. Dans la formule trouvée pour expression du rayon de courbure, on a regardé l'abscisse x comme la variable indépendante. Pour s'affranchir de cette sup-
position il suffit (169) de remplacer j^^ par
et l'on a, par conséquent, quelle que soit la variable indépendante,
Cette formule s'applique commodément lorsque les coordonnées x etjsont données en fonction d'une troisième variable.
498. Lorsque la variable indépendante est Tare même de la courbe considérée, l'expression du rayon de courbure peut être transformée à l'aide de la formule
et de
qui s'en déduit par la différentiation; nous avons donné (174) le détail de cette transformation qui conduit à la formule remarquable
• p» ~" \ ^5' / "^ \ ds^ ) '
Cette formule est susceptible d'une interprétation géométrique élégante et souvent utile.
A partir du point donné M portons, sur la courbe et sur la tangente, deux longueurs infiniment petites MM', MT, dont c désigne la longueur commune. Les coordonnées du point M' sont, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,
dx \ d^x
rf|' I d^r ,
celles du point T sont rigoureusement
dx
dr on a, par conséquent,
et par conséquent
d'où l'on déduit
2 MX
499. La première expression trouvée pour le rayon de courbure couduit à un théorème équivalent au précédent, et qui, dans certains cas, est d'une forme plus commode. Si Ton prend pour axe des x la tangente en un point, et pour axe des r la normale, l'équation
9 = devient
s-^mi
d\r dx*
\dx^)
y ^^ zr- étant nuls, pour or = o, si l'on nomme ifc l'ordonnée correspondant à une
abscisse infiniment petite A, le théorème de Maclaurin donne, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,
\dx')
Cette formule diffère de la précédente en ce que l'ordonnée k y remplace la distance M'T. Or ces deux lignes, dont les directions forment un angle infiniment petit, ont a la limite un rapport égal k l'unité, et la substitution de l'une à l'autre ne change pas la limite du rapport dans lequel elles figurent.
L'équation ( i ) est équivalente au théorème suivant :
Le rayon de courbure, en un point M d'une courbe, est égal au carré d'une lont^ueur infiniment petite MP portée sur la tangente à partir de ce point, divisé par
le double de la ligne PQ perpendiculaire k MP, et comprise entre le point P et la courbe.
500. Le théorème précédent conduit à une expression analytique du rayon de courbure équivalente à celle que nous avons déjà obtenue, et quelquefois plus commode, parce qu'elle ne suppose pas l'équation de la courbe résolue par rapport a l'une des coordonnées. Soit tf [co^y] = o l'équation d'une courbe. Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale au point M, dont les coordonnées actuelles sont a? et y, et soient u^ v, les coordonnées infiniment petites d'un point voisin de M; le rayon de courbure est, d'après ce qufc l'on vient de voir,
représenté par — ; pour le déterminer, remarquons qu'en nommant Q l'angle de
la tangente avec l'ancien axe des a?, c'est-à-dire celui que forment les nouveaux axes avec les anciens, les coordonnées du point voisin de x, y, sont, dans le premier système,
x-^ucosQ — t'sinS,
^4-«sin0-*-ç'cos0, et Ton a par conséquent »
(i) . cp (j7-f-wcos 0 — i'sinô, 7-hasin0-f-(^cos0)==o.
Le nouvel axe des x étant tangent à la courbe, si l'on considère u comme infiniment petit du premier ordre, v est infiniment petit du second ordre; nous devons donc, en développant le premier membre de (i) par le théorème de Taylor, conserver les termes du second ordre, carie facteur m*, qui multiplie quelques-uns d'entre eux, est comparable au facteur v qui se trouve dans les termes du premier ordre. L'équation ( i ) peut donc être remplacée par
dx a y
-{- - ^^ (acos9 — ^sin0)^-f-2 , J [uqosB — t'sinôJCasine-f-fCOSÔ)
4--T-i(wsin9 + vcosO)' I Le coefficient de u est nul, parce que l'on a
^ dx
dy
de plus, les termes en v^ et en uv peuvent être supprimés comme infiniment petits du quatrième et du troisième ordre, et il reste
(3) o = .(^cos0-gsine)+i«'(^cos'0 + .^.sinOcos0 + ^sin'0), I. 67
-T^cosô T^sinO
u^ dr dx
-j-f cos' e-H 2 -7— 1- sm e cos ©H- -T-^ sin»9 rf:c' a:c dy dy^
on a, d'ailleurs,
dr .A Jx cos©= — 9 sin© =
et par conséquent
m'Hm
dx^\dyl dxdydxdy dy^ \dx)
Cette formule se déduirait aisément de celle qui a été donnée (490) et dont elle n'est qu'une transformation. Nous avons préféré la démontrer directement pour appeler l'attention sur un théorème souvent utile. La méthode précédente a d'ailleurs l'avantage de conduire à l'expression du rayon p, dans le cas où le point considéré
étant singulier, les dérivées -^j -? deviennent nulles (463), et la formule (4) est
illusoire.
Reprenons dans ce cas l'équation (i) en remarquant que l'on a, outre
j) [x^y] = o, j? = o, ^ = o. Dans le développement du premier membre par le
théorème de Taylor, les termes du premier ordre sont nuls, ainsi que les termes en u^y dont le coefficient est précisément l'expression qu'il faut égaler à zéro pour obtenir (463) la direction de la tangente. Les termes de l'ordre le moins élevé, par rapport auxquels les autres sont négligeables, seront donc ici ceux qui contiennent le facteur uv et le facteur a', et, par la suppression des autres, l'équation (i) pourra être réduite à la forme
Vuv + ^u* = o.
On en déduira donc
p et Q contenant l'angle 6 qui est connu, et les dérivées du second et du troisième ordre du premier membre de l'équation.
UVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 53i
501. La considération de l'expression explicite de P conduit à une conséquence remarquable. Ce coefficient étant le multiplicateur de us^ dans l'équation (5), on a
(7) . P = — 2 2sin9cos0-f-2 x-?" f^^os^^ — sm'9)-{-2 -j- sin0 cosO;
il est aisé d'en conclure que, lorsque le point singulier considéré est un point de rebroussement, on a P=:o, et par conséquent le rayon de courbure est nul, et la courbure infinie. L'angle 0 est donné en effet (463) par l'équation
rf*<P ^ rf'o ^ ■ d^o
-7-^ cos' 0 -H 2 , ^ sin 0 cos 0 -h -t-t sin* 0 = o.
dx^ dx dy dy^
Dans le cas qui nous occupe, cette équation a deux racines égales; la dérivée de son premier membre par rapport à ô est donc nulle, et l'on a par conséquent
o = — 2 sin 0 cos 0 -r^, -h 2 , ^ ( cos* 0 — sin» 0)4-2 ^ sin 0 cos 0 , dx^ dxdy ' aj'
c'est-à-dire P = o.
La courbure d'une courbe en un point de rebroussement est donc infinie. Il peut y avoir exception lorsque, en même temps que P=o, on a Q=o; c'est ce qui arrive dans le cas du rebroussement de seconde espèce. Nous laissons au lecteur le soin de faire cette vérification qui, si l'on se reporte aux formules (465), n'offre aucune difficulté,
502. En se rappelant ce qui a été dit (464) sur la distinction des points singuliers, on peut démontrer plus directement qu'en un point de rebroussement de première espèce, le rayon de courbure est égal a zéro. Si l'on nomme en effet u l'angle formé par la tangente a la courbe avec l'axe des a?, et w, l'angle formé avec le même axe par le rayon vecteur qui réunit le point considéré avec le point où la courbe est coupée par un cercle de rayon R ayant ce point pour centre, on a trouvé, dans le cas d'un rebroussement de première espèce,
A cos* u ( tang u — lang «, )- -h M, R = o ,
M, ayant une valeur finie. Cette équation prouve que tang a— tang u,, et par suite M — M,, est de même ordre que \/R, et l'angle de la corde avec la tangente est de même ordre que la racine carrée de la corde. La distance de la tangente a l'extré-
mité de la corde est le produit de R par sin (m — m,), et par conséquent d'ordre -;
elle est donc infiniment grande par rapport à la distance analogue dans un cercle de rayon quelconque qui est du second ordre. La courbe s'éloignant par consé-
quent de sa tangente infiniment plus rapidement que ne le fait un cercle, elle a une courbure infinie.
503. L'expression du rayon de courbure d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires se déduit aisément de la formule
dxd^X — dyd^x
En calculant dx, dy, d^x, d^y, à l'aide des formules
^ = rcos6,
/=rsin9, on a
ndr'de — rd'rdB-i-r'dô* l drY d^r
^[Tej-'df'^'- ^application à quelques exemples.
