Rayon de courbure de l'ellipse. — Soit
l'équation d'une ellipse; en désignant le premier membre par (p{oOy y)^ on a
dx* dxdy dy^
et la formule trouvée (500) donne
En nommant N la portion de la normale comprise entre la courbe et l'axe des x^ on a
et par conséquent
Si Ton nomme p le paramètre — » on a
Cette formule est applicable à l'hyperbole et s'obtient par le même calcul daus lequel il suffit de changer b^ ^n—b^. Elle est applicable aussi a la parabole. Soit en eiTet
j2 — 2px= O
l'équation d'une parabole : on a
do do
rf*9 rf'9 rf*(p
et par conséquent
^ Qp' p'
La sous-normale étant égale à/>, y^ -h/>* est égal au carré de la normale» et l'on a
Rayon de courbure de la cycloïde. — Les équations de la cycloïde sont
07 = a (a — sinif), y=a(i — cosm).
La formule la plus commode a employer est
^ d^ydx — dyd^x ' elle donne après des réductions évidentes
p = — 4^sm - M.
La normale, comprise entre la courbe et le point de contact du cercle générateur avec la base, est égale à 2asin - u\ le rayon de courbure de la cycloïde est donc double de la normale.
Rayon de courbure de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logarithmique est
on a, par conséquent,
dr d^r
et Texpression (503) du rayon de courbure devient
le rayon de courbure est par conséquent proportionnel au rayon vecteur.
Détermination géométrique de quelques rayons de courbure.
505. La géométrie permet, dans un grand nombre de cas, de déterminer le rayon de courbure d'une courbe sans recourir aux formules précédantes. Il est souvent commode, pour cela, de recourir au théorème démontré (494), et de regarderie centre de courbure comme l'intersection de deux normales infiniment voisines. Nous donnerons quelques exemples de cette méthode.
Rayon de courbure de t ellipse. — Soient F et F les deux foyers d*une ellipse, et M le point de la courbe pour lequel on veut déterminer le rayon de courbure.
La normale en M est la bissectrice de Tangle FMF'. Soit M' un point infiniment voisin de M, la normale en M' est la bissectrice de l'angle F'M'F; le point 0, intersection des deux normales, est le centre de courbure, et Ton a, en nommant p le rayon de courbure, et 0 l'angle des deux normales.
MM'
Or, en désignant, pour abréger, par F et F' les angles de la figure qui ont leurs sommets aux points désignés par ces lettres, on a rigoureusement
et par conséquent
