MM
(3) P=FTf'
OU, ce qui revient au même,
Si Ton nomme 9 l'angle formé par la normale MO avec les rayons vecteurs FM^ F'M, on a évidemment, en négligeant les infiniment petits du second ordre»
MM' cos <p "" FM • MM' cos cp ~ FM '
et par conséquent
ffi\ ' cos<p / I , ï \
c'est-à-dire, en représentant les deux rayons vecteurs par & et c?',
I ^ cos 9 /i I \ __ (3-f-3') C0S9
La somme (f et ^ étant égale au grand axe 2 a, cette formule devient , . I a cos 9
On peut facilement la transformer en une autre plus élégante. En nommant 2 c la distance des foyers, on a
4c^ = d'-ha'»23d'COS2 9=:(Ô4-d')»— 23d'{l-HC0S29),
ou
4c' = 4a* — 4^3' cos' 9 , d'où
cos^* 9 cos* 9
b désignant le petit axe; la formule (7) devient donc
/rt. I a cos' 9
en nommant p le paramètre — » on a enfin
cos=» 9
Rayon de courbure de la cycloîde, — Soient AMS une cycloïde; MI, MT, deux
positions infiniment voisines du cercle générateur correspondant aux points M et M'. Les normales en ces points sont (14) MI, M' F, et le centre de courbure est le point 0 où elles se coupent. En nommant p le rayon de courbure, et 0 l'angle des normales, on a, comme dans le cas précédent,
MM'
Or Tare MM' est double (20) de Tare de cercle ayant MI pour rayon, et dont l'angle au centre est précisément celui que forment les normales extrêmes de MM\ Le rapport d'un arc de cercle a son angle étant égal au rayon du cercle, l'arc MM' qui est double, étant divisé par le même angle, donnera un quotient double, et par conséquent le rayon de courbure de la cycloîde est double de la normale IM.
506. Rayon de courbure d!une roulette quelconque, — Considérons la courbe décrite par un point invariablement lié à une courbe mobile qui roule sans glisser sur une courbe fixe donnée.
Soient AOÂ' la courbe fixe, et BOB' la position de la courbe mobile, lorsque le
point de contact est en M.
Pour obtenir le point M' infiniment voisin de M sur la roulette, il faut faire mouvoir la courbe BOB' de telle sorte qu'un point 0,, infiniment voisin deO, vienne se placer sur un point O2, tel que 00a = 00,, et que les deux courbes soient tangentes Tune à l'autre en ce point commun. Or le mouvement que doit prendre pour cela la courbe mobile, et auquel participe le point M, peut être remplacé par deux autres, effectués successivement, savoir : une translation dans laquelle tous les points décrivent des droites égales et parallèles à 0, O2, et une rotation autour du point O2, telle, que la normale O^Na vienne se placer dans le prolongement de la normale 0|N,, et tourne par conséquent d'un angle égal à celui des deux normales,
c'est-à-dire à la somme de leurs inclinaisons sur ON, -^ -4- ^ =00, ( ^ 4- ^ )•
Soit MI la droite égale et parallèle à 0,0^ menée par le point M, et IM' l'arc décrit de Oo comme centre, et correspondant a l'angle de rotation indiqué; M' est le point voisin de M, situé sur la roulette. La langente à cette courbe est la limite de la direction MM', et comme MI est infiniment petit du second ordre, on peut, en substituant (13) le point I au point M, remplacer , MM' par IM', corde infiniment petite de l'arc de cercle décrit de Oj comme centre, dont la limite est la tangente au cercle de centre 0 et de rayon OM. La normale à la roulette est donc MO. La démonstration s'appliquant à toutes les positions du point M, la normale voisine est M' O2, et le point de rencontre C de ces deux droites est le centre de courbure, et l'on a, en nommant p le rayon de courbure, et C l'angle des deux normales :
MM'
Calculons les deux termes de cette fraction en négligeant, comme il est permis, les infiniment petits du second ordre.
MM' est l'arc décrit du point 0^, avec un angle égal à 00a (s" "^ ÎT ) * ^* ''^^ ^* par conséquent, en remplaçant son rayon par OM, dont il diffère infiniment peu,
mm' = om.(ôô;)(^h-^J-
On a, dans le triangle MCO2 ,
