M = 2R, COS

et la formule donne

Ri R3 2R1

Le rayon de courbure est, par conséquent, proportionnel à la normale OM.

Si le rayon du cercle fixe devient infini, celui-ci se réduit à une ligne droite, et l'épicycloîde à une cycloide; la formule devient alors

p = 20M, ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (505).

Courbure des lignes orthogonales.

507. Lorsque l'équation générale d'une série de courbes contient un paramètre variable, le nombre des courbes qu'elle peut représenter est infini comme celui des valeurs que l'on peut attribuer au paramètre, et il est possible, en général, de déterminer celui-ci, de manière à faire passer là courbe correspondante par un point donné du plan que leur ensemble recouvre entièrement. A cette première série, quelles que soient les courbes qui la composent, en correspond toujours une seconde, formée par des lignes qui coupent les premières à angle droit, et que Ton nomme leurs trajectoires orthogonales; de telles trajectoires existent toujours, car les courbes du premier système étant supposées tracées et recouvrant le plan, chaque trajectoire orthogonale est la ligne suivie par un point mobile qui dirigerait à chaque instant son mouvement, normalement à celle des courbes du premier système sur laquelle il est actuellement situé. Chacune de ces trajectoires étant déterminée par un de ses points, leur équation générale contient un paramètre arbitraire.

Soient

les équations de deux systèmes de courbes orthogonales, a^ et aa étant les paramètres variables par rapport auxquels nous les supposons résolues : chaque point du plan peut être défini par les valeurs des paramètres a, et a, auxquelles correspondent les courbes qui s'y rencontrent, et ces deux paramètres peuvent remplacer les coordonnées orthogonales x et y. En adoptant ce système, si deux points infiniment voisins sont représentés par les paramètres «i, «j, a,H-rfai » a, H-rfa,', le carré de leur distance est de la forme

etrona(125)

ds^ = Aida] -h Aida] y

Les courbes AA', CC, qui se croisent au premier des points considérés, et les courbes BB', DD' qui se croisent au second, forment un rectangle PQ P| Qi , dont ds est la diagonale. Les côtés PP|, PQ sont les distances correspondantes a la variation d'un seul paramètre et ont pour expression, la première da^ v/A|, et la seconde duzyjAz'

Nous poserons, pour éviter les radicaux,

regardant t- et ^ comme des quantités essentiellement positives: d'après cela, -^'

représente la longueur PP,, distance des deux courbes infiniment voisines qui correspondent aux paramètres a; et a, -f- rfa, , et que nous désignerons par ds^ , parce qu'elle est comptée sur la courbe qui correspond au paramètre a,.

-y-* représente de même la longueur PQ, distance des deux courbes représentées

par les paramètres «a, «jH-rfaa; nous la désignerons par d>|.

Les fonctions A, et h^ font connaître la loi suivant laquelle varie la distance de deux courbes infiniment voisines; si ces courbes correspondent en effet aux paramètres a, et a, -Hrfa,, en quelque point que Ton passe de l'une à l'autre, l'accroissement doL^ sera constant^ et le chemin à parcourir normalement est par conséquent

proportionnel à j--

508. Les rayons de courbure des deux courbes qui se croisent en un point s'expriment élégamment, au moyen des fonctions A^, h^ et de leurs dérivées.

Soient, en effet, AA', BB' deux lignes infiniment voisines correspondant aux paramètres a,, a, h- rfa,, et CC la ligne du second système qui correspond au paramètre «2, et dont nous voulons calculer la courbure au point P où elle coupe AA'.

Cette courbure est égale à l'angle de contingence formé par les tangentes aux points P et Q, divisé par la longueur ds^ de l'arc PQ. On a, d'après ce qui a été dit,

, rfa, as, = -7- •

Si donc on nomme s l'angle de contingence, le rayon de courbure /?a est exprimé par la formule

Il reste à calculer £ ; or cet angle est formé par les normales respectivement menées en P et Q aux courbes AA' et BB' que PQ coupe toutes deux à angle droit : soit PI la première de ces normales, et I le point où elle coupe la courbe BB'; la distance QI est infiniment petite du second ordre, et l'on peut, dans le calcul de l'angle s, remplacer la normale en Q de la courbe B' par la normale en I qui forme

sfvea elle un angle infiniment petit du second ordre, s est, d'après cela, le complément de l'angle sous lequel la droite PI coupe la courbe BB'; or on sait (85) que si en chaque point d'une courbe on élève une normale, et que l'on porte sur elle une longueur constante /, le lieu des extrémités est une courbe parallèle à la proposée, et coupant toutes les normales à angle droit. On en conclut bien aisément que si la longueur / portée sur chaque normale varie d'un point à l'autre, un élément d<j de la courbe obtenue, et dont les extrémités correspondent aux longueurs let l-\-dl portées sur deux normales voisines, formera avec ces normales

un angle dont le cosinus est -j- 1 dans le cas de deux courbes infiniment voisines

qui nous occupe ici, l'élément d(? peut être remplacé par l'élément correspondant dSi de la courbe AA' qui en diffère d'un infiniment petit du second ordre, et par conséquent l'angle infiniment petit s, que l'on peut remplacer par le cosinus

de son complément, a pour expression -j-] l est ici la distance PI, égale, nous l'a-

da

VOUS dit, à -T-^j et rf/est l'accroissement correspondan ta un changement infiniment petit de a, ; on a donc

a (Xi a ai

Le dénominateur d!y, du quotient ^ est correspondant k la distance des deux courbes normales à AA'et correspondant aux paramètres «a et «a H- rfaa; on a donc (125)

et par conséquent

on en conclut

£ = -j^ = fiidai

dsi doLi

eAi , . \AJ hidh^

pa aoLi doci hx a (Xi

on trouverait de même

i^ . . hi Â^ djh

Pi dai ht d(X\

509. Ces formules assignent au rayon de courbure un signe qui, comme nous

allons le voir, est lié au sens de la courbure. Considérons par exemple la formule

Ai et A,, définis par leurs carrés (507), sont regardés comme essentiellement positifs,

le signe de - est par conséquent celui de -^ ; r étant proportionnel k la distance

des courbes correspondantes aux valeurs a, et a* 4-^ai, on voit que p, est positif lorsqu'en parcourant Tune d'elles dans un sens tel que a, augmente, on s'éloigne de la courbe infiniment voisine. Or deux courbes normales à une même courbe s'écartent Tune de l'autre lorsque leurs premiers éléments sont situés dans la région vers laquelle celle-ci tourne sa convexité. Nous pouvons donc énoncer la règle suivante:

En considérant la courbe qui correspond k une valeur donnée de cc^ comme séparant les points du plan pour lesquels cc^ est moindre de ceux pour lesquels il est plus grand que cette valeur donnée, le rayon de courbure p^ fourni par la formule trouvée est positif lorsque la courbure de la ligne est tournée vers la première de ces régions, elle est négative dans le cas contraire.