PQ.PP
La courbure de l'arc PP| est égale à la différence des côtés opposés divisée par la surface du rectangle.
Lorsque les lignes du second système sont droites, - est nul, et l'on a par conséquent QQi =PP| ; OD sait en effet que des courbes normales aux mêmes droites (85) interceptent sur deux quelconques d'entre elles des longueurs égales.
511. Les expressions trouvées pour les rayons de courbure conduisent à un théorème remarquable relatif à la loi de variation des courbures dans un système quelconque de courbes orthogonales.
Soient, coqame au paragraphe précédent, AA', BB', CC, DD', quatre courbes infiniment voisines formant le rectangle infiniment petit PQ P| Q^, et correspon-
dant aux valeurs a<, a, -h doc^, «a, aa 4-(/aa des deux paramètres.
Soit, en outre, /?, le rayon de courbure de AA' et pa celui de CC au point P; rfa, etrfaa étant supposés positifs, la figure est telle que, d'après nos conventions, p, etpa sont l'un et l'autre positifs.
Soit PT la tangente à AA' au point P, et 6 l'angle qu'elle forme avec l'axe des X positifs; on a, d'après nos conventions,
on aura de même
or on a
par conséquent
ou
1 __dQ___L dB p.~ PQ~ 'r/a/
L —A il.
pa "" ' da^
daidûCi d a2 (i (Xi
j.iî4 i e!^-i Jh^L -hi=o.
ht doci hx d (Xi Pi d ai pi doct
En multipliant cette équation par A, h^ , en avant égard aux valeurs de - ^^ de elle devient
dxt da, p; p]
^ est l'arc infiniment petit PP, et -j-' ^'^^^ PQ '' ^^ '^^ désignant par ds^ et par ds^, on a enfin
rfi di
ds, dst p; Pj
Cette équation a été découverte par M. Lamé.
Quoique la démonstration précédente fixe nettement le sens qu'il faut attacher
aux quotients -1^ > -^ . il est peut-être utile de l'indiquer explicitement.
Ces quotients ne sont pas en effet des dérivées et ne peuvent évidemment pas en être, car il n'existe pas de variables 5,, 5a, dont p, et p^ soient fonctions. Dans
le rapport -^j d- est l^excës de la courbure de QQ, au point Q sur celle de PP, au
point P^ et dst est Tare infiniment petit PQ qui mesure la distance des deux courbes;
dl
-p- a une signification analogue.
512. L'équation précédente ayant une grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration plus exclusivement géométrique.
Soit, comme précédemment, PQP4Qi, le rectangle infiniment petit formé par les courbes des deux systèmes qui correspondent aux paramètres a,, a, H-rfa, ,
aj , «a 4- doL2 : menons par chacun des points P, Q, P| , Q< des tangentes aux deux côtés qui s'y croisent, nous formerons un octogone PIQO'Q,rP,0, dans lequel la somme des huit angles est égale à douze angles droits, et comme les angles en P,Q, Pi, Qi, sont droits, la somme de ceux qui ont leurs sommets en I, 0, F, 0', est égale à huit droits; or en nommant £,, £« + ^£|>les angles de contingence des arcsPQ, Pi Qi> ^29 £2 + ds2 ceux des arcs PP«, QQi , on a, en désignant les angles de l'octogone par les lettres placées à leurs sommets,
0 = 7r-l-€a, 1 = 71-1-61, (y = 7r — £1 — rfs,, I'=7r — e. — rfe,,
et, par conséquent, l'équation
