A,A'=AA'.(A'AA,), B.B' = BB..(B'BB

on peut regarder AA' et BB, comme égaux, les angles A'AA,, B'BB, sont égaux

aux angles formés parla corde AB avec les tangentes aux deux extrémités de l'arc,

leur somme est (715) l'angle de contingence de AB que nous désignerons par s,

on a donc

A,V-f-B,B' = e.AA',

et, en nommant - la courbure géodésique ^> on en déduit enfin

A'B'— AB = A,A'4-B,B' = ÂÂ'.— ,

comme on l'avait annoncé.

Courbure totale d'une portion de sur/ace.

720. L'idée de courbure appliquée aux surfaces est extrêmement complexe; on peut en effet concevoir en chaque point une infinité de courbes tracées sur la surface, et la courbure de chacune d'elles est un des éléments qui figurent dans l'idée vague que nous exprimons par le mot courbure appliqué à la surface. Gauss a, le premier, défini celle-ci avec précision; l'illustre géomètre compare pour cela les points de la surface qu'il étudie à ceux d'une sphère ayant pour rayon l'unité de longueur, et il regarde comme correspondants dans les deux surfaces ceux pour lesquels les normales sont parallèles; d'après cette définition, à une portion quelconque de la surface donnée correspondra une portion de la surface sphérique dont l'aire est la courbure totale de la portion considérée.

La courbure moyenne d'une portion de surface est le rapport de la courbure totale à l'aire de la portion considérée.

La courbure d'une surface en un point est la courbure moyenne d'une portion infiniment petite de cette surface comprenant dans son intérieur le point considéré.

721. Bemarquons, avant d'aller plus loin, l'analogie complète des définitions précédentes avec celles qui se rapportent aux courbes planes.

7i2 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La courbure d'un arc de courbe plane est, en effet, l'angle des tangentes extrêmes ou, ce qui revient au même, l'angle des normales à ses extrémités, c'est-à-dire l'arc de cercle de rayon unité compris entre deux rayons parallèles à ces normales; la courbure moyenne est le rapport de cet arc de cercle à l'arc de courbe considéré, et la courbure en un point est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit auquel ce point appartient; il est inutile d'insister sur l'analogie, qui est évidente.

Mesure de la courbure.

722. La courbure d'une surface en un point est égale à l'inverse du produit des rayons de courbure principaux.

Pour évaluer la courbure d'une surface en un point il faut, d'après la définition, chercher la courbure totale d'une surface infiniment petite qui contienne ce point : choisissons un rectangle infiniment petit formé par quatre lignes de courbure; soient rfa, d^ les côtés de ce rectangle, et R,, R2 les rayons de courbure correspondants; les normales menées par les points du contour ABCD forment quatre éléments de surface développable qui peuvent être considérés comme quatre facettes planes se coupant deux à deux à angle droit. Les parallèles à ces normales menées par le centre de la sphère de rayon unité formeront un angle tétraèdre à dièdres droits et détermineront sur la sphère un rectangle dont la surface est, par définition, la courbure totale de ABCD; les côtés de ce rectangle, égaux aux angles sous

lesquels ils sont vus du centre de la sphère, sont mesurés par ■—, -j^» R, et Rj

étant les deux rayons de courbure; la surface du rectangle est donc -g^' et le

rapport de cette surface à la surface de ABCD, égale à rfarf]3, est g^? comme nous l'avions annoncé.

Si l'élément considéré sur la surface avait une autre forme, le résultat serait évidemment le même. Quelle que soit en efîet la forme d'un élément infiniment petit, on peut le décomposer par des lignes de courbure en rectangles infiniment plus petits

que lui. La courbure moyenne de chaque rectangle étant» à la limite^ Tinverse du produit des rayons de courbure, il en est de même de la courbure moyenne de leur ensemble.

723. L'un des rayons de courbure d*une surfiice développable étant infini, la courbure est, en chaque point, égale à zéro. Cela résulte d'ailleurs directement de la définition. Les normales menées par les différents points d'une génératrice étant en effet parallèles, les points de la sphère correspondant à tous ceux de la surface développable forment une ligne courbe, dont chaque point correspond à une génératrice tout entière, et la portion de sphère correspondant a un contour fermé grand ou petit a toujours une surface nulle.

Théorie du développement des surfaces.

724. Gauss a démontré plusieurs théorèmes relatifs à la courbure totale, que l'on doit compter parmi les plus élégants et les plus remarquables de la Géométrie. Sans aborder les méthodes employées par l'illustre auteur, nous donnerons la démonstration géométrique de ses résultats les plus importants.

Nous établirons d'abord un lemme dû a M. 0. Bonnet, et sur lequel ces démonstrations sont fondées.

Si l'on trace sur une sphère un contour fermé quelconque, et que par chacun de ses points on mène un arc de grand cercle tangent sur lequel on porte, toujours dans le même sens, une longueur d'un quadrant, le lieu des points ainsi obtenus divise la sphère en deux parties équivalentes.

Pour le démontrer, considérons d'abord un polygone ABCDEF formé par des arcs de grand cercle. Prolongeons les divers côtés, toujours dans le même sens, et de

chaque sommet comme pôle, avec un rayon sphérique égal à un quadrant, décri-* vous un arc de cercle : nous formons ainsi des triangles sphériques isocèles dont

lU PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

chacun a pour mesure l'angle extérieur correspondant du polygone. La Géométrie élémentaire permet d'en conclure immédiatement que ces triangles ajoutés à la surface du polygone donnent une somme mesurée par quatre angles droits et égale par conséquent à la moitié de la sphère, en sorte que le trait continu PQRSTUVXYZMNP partage la sphère en deux parties équivalentes.

Si le polygone avaitdes angles rentrants, il faudrait, pour l'exactitude du théorème, retrancher les triangles qui correspondent à ces angles; mais la construction n'en donnerait pas moins un trait continu partageant la sphère en deux parties équivalentes : si, par exemple, le polygone est ABCD, et que des sommets A, B, C, D

comme pôles on décrive des arcs de grand cercle, PQ, RS, TU, VX, la ligne continue PQRSTUVX partage la sphère en deux parties équivalentes.

Si l'on fait augmenter indéfiniment le nombre des côtés du polygone, on le remplacera par une courbe fermée quelconque et l'on obtiendra le théorème énoncé.

725. Ce théorème remarquable ne diffère pas, au fond, d'une autre proposition énoncée par Jacobi. '

Si par le centre d'une sphère on mène des parallèles aux normales principales d'une courbe fermée quelconque S, le lieu de leurs extrémités partagera la sphère en deux parties équivalentes.

Si l'on considère en effet l'indicatrice sphérique lieu des extrémités des rayons parallèles aux tangentes de la courbe S, les arcs de grand cercle tangents à cette indicatrice ont leurs plans (566) parallèles aux plans osculateurs de S, et le point situé sur l'un d'eux, a distance d'un quadrant de l'indicatrice, est l'extrémité d'un rayon mené dans le plan osculateur perpendiculairement à celui qui correspond au point de l'indicatrice, c'est-à-dire k la tangente de la courbe S; ce rayon est évidemment parallèle à la normale principale de S, et le théorème de M. Bonnet rentre par conséquent dans celui de Jacobi.

726. Considérons sur une surface quelconque un triangle formé par trois lignes

UVRE TROISIËME - APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES. 745

géodésiques, et sur une sphère de rayon unité les trois arcs de grand cercle qui sont les indicatrices sphériques des côtés du triangle. Soient ah, cd, ef, ces trois arcs; joignons par des arcs de grand cercle les extrémités correspondant k un même sommet du triangle primitif, et nous formerons un hexagone abcde/dont trois côtés sont des arcs de grand cercle, tandis que la nature des trois autres dépend de la forme des lignes géodésiques considérées; les six angles de cet hexagone sont droits; chacun d'eux est formé en effet par l'indicatrice sphérique de l'un des côtés du triangle géodésique donné et par Tare de grand cercle qui réunit son extrémité à celle de l'indicatrice du côté suivant; or, le plan de l'arc de grand cercle tangent a l'indicatrice sphérique d'une courbe est (566) parallèle au plan osculateurde celle-ci, et les points des deux indicatrices qui correspondent à l'un des sommets du triangle sur la surface donnée, sont les extrémités de deux rayons parallèles aux tangentes des côtés qui s'y croisent; le plan de l'arc de gi*and cercle qui les réunit est évidemment parallèle au plan tangent de la surface, en sorte que les deux lignes dont nous parlons sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Appliquons a la ligne abcdef le théorème de M. Bonnet, nous formerons un trait continu représenté sur la figure et composé de douze lignes parmi lesquelles neuf arcs de grand cercle formant trois triangles sphériques et trois courbes de nature variable avec celle des lignes géodésiques auxquelles on applique la démonstration. Il est clair, en effet, que lorsqu'on applique le théorème de M. Bonnet k un

polygone quelconque, a chacun des côtés du polygone correspond un des côtés de la figure qui partage la sphère en deux parties équivalentes, et à chaque sommet

correspond aussi un côté de la même figure qui est toujours un arc de grand cercle; chaque sommet peut en effet être considéré comme un arc infiniment petit qui raccorde les deux côtés qui s'y réunissent, et les arcs de grand cerde d'un quadrant menés tangenticllement à ce côté infiniment petit étant tous issus d'un même point, leurs extrémités forment un arc de grand cercle ayant ce point pour pôle. La figure dérivée d'un hexagone a donc douze côtés parmi lesquels, en général, six arcs de grand cercle. Dans le cas actuel elle a neuf arcs de grand cercle, parce que trois sont dérivés des côtés bc^ de^ fa de l'hexagone, qui sont eux-mêmes des arcs de grand cercle; les arcs de grand cercle qui leur sont tangents sont en effet ces côtés eux-mêmes sur lesquels, à partir de chaque point, il faut porter un arc d'un quadrant. On déduira ainsi de chacun d'eux un arc de même longueur situé sur le même grand cercle; la figure dérivée aura enfin trois côtés curvilignes de forme variable suivant les cas, gh^ he^ eg, et déduits des trois côtés aè, crf, e/'de l'hexagone. Ces trois lignes forment un triangle, ainsi que l'indique la figure; pour le prouver, il suffit de montrer que l'arc de grand cercle d'un quadrant, hh^ mené tangenticllement a ah y a même extrémité que l'arc de grand cercle d'un quadrant cA, mené par le point c tangenticllement à cd. Les extrémités de ces arcs sont en effet situés sur des rayons parallèles aux normales principales des lignes géodésiques dont ah et cd sont les indicatrices sphériques; or, au sommet du triangle qui correspond aux points^ et c, ces normales sont les mêmes puisqu'elles coïncident toutes deux avec la normale à la surface sur laquelle le triangle géodésique est supposé tracé.

Il est donc prouvé que le trait continu qui divise la sphère en deux parties équivalentes est formé de douze lignes qui comprennent trois triangles sphériques et un triangle ghi\ la somme de ces quatre triangles équivaut à la moitié de la sphère; or je dis que le triangle ghi est précisément la courbure totale que nous voulons évaluer et dont ce théorème fournira ainsi la mesure. Les points du contour de ce triangle sont en effet les extrémités des rayons parallèles aux normales principales des trois côtés du triangle géodésique considéré, et par suite parallèles aux normales à la surface sur laquelle ce triangle est tracé : ce triangle ghi est donc la courbure totale que nous cherchons. Les trois triangles sphériques qui, réunis à ghi^ forment une sonjme égale à la moitié de la sphère, sont isocèles et birectangles, et chacun a pour mesure sa base : or les bases sont égales aux côtés 6c, de^fa^ c'est-à-dire aux suppléments des angles Â, B, G du triangle géodésique; la somme

TT — A-+-7r — B-f-TT — C-hg-Ai

est donc égale à la demi-sphère représentée comme on sait par 4^» et l'on a

TT — A-j-TT — B-Htt — CH-g:Ai=4îr,.

d'où l'on conclut

/fAi = A4-B4-C — tt;

c'est précisément le théorème de Gauss : la courbure totale du triangle géodésique ABC est mesurée par l'excès de la somme des angles de ce triangle sur deux angles droits.

727. Le théorème précédent, remarquable par sa grande élégance et par sa généralité, se distingue des autres propriétés générales des surfaces en ce qu'il s'applique a une portion finie de surface quelconque. Les théorèmes d'Euler et de Monge, aussi généraux que celui de Gauss, sont relatifs aux portions intîniment petites d'une surface; on comprend à priori que les propriétés dans l'étude desquelles on peut négliger les infiniment petits d'un certain ordre, peuvent s'étudier simultanément pour toutes les surfaces continues; dans l'étude des tangentes, par exemple, les infiniment petits du second ordre peuvent être négligés: toute surface peut donc, dans le voisinage d'un point, être considérée comme plane, et c'est pour cela que les tangentes à toutes les courbes qui passent par ce point sont dans un même plan. Dans l'étude des rayons de courbure, on peut négliger les infiniment petits de troisième ordre, et toute surface peut être, sous ce point de vue, réduite par conséquent à une surface de second degré; il est donc tout naturel que les lois de la distribution des courbures autour d'un point soient les mêmes pour toutes les surfaces. Le théorème de Gauss se distingue de tous les autres parce que, son énoncé se rapportant à une portion finie de la surface, des points situés a une distance finie se trouvent ainsi rattachés les uns aux autres, quoique la loi de continuité ne semble au premier abord leur imposer aucune condition.

Si l'on y regarde de plus près, cependant, cette circonstance, tout en restant fort remarquable, peut s'expliquer à priori. On peut voir, en effet, que le théorème de Gauss, s'il est vrai pour un triangle infiniment petit, est vrai, par cela même, pour un triangle fini quelconque. Si l'on décompose en effet un triangle en d'autres plus petits ayant pour côtés des lignes géodésiques, la courbure totale du grand triangle sera égale a la somme des courbures de ceux qui le composent, c'est-k-dire, en admettant le théorème démontré pour ceux-ci, à l'excès *de la somme totale de leurs angles sur autant de fois deux droits qu'il y a de triangles.

Or il est clair que les angles de la figure qui ont leurs sommets aux sommets A, B, C du triangle proposé ont pour somme la somme A+B+G de ces trois angles, et quant aux autres angles, ceux qui ont un sommet commun ont pour somme quatre droits ou deux droits, selon que ce sommet est situé dans l'intérieur ou sur le contour de ABC; l'excès de la somme totale des angles, sur autant de fois deux droits qu'il y a de triangles, est donc A-hB-4-C plus ou moins un multiple de deux angles droits; mais si la figure était plane et que les lignes géodésiques fussent droites, la somme serait nulle et égale a A -4- B -4- C — n , et comme le nombre des triangles et le nombre des sommets de chaque espèce restent les mêmes dans tous les cas, cette expression

est géDérale. Le théorème de Gauss, relatif à un triangle quelconque, est donc une conséquence nécessaire du théorème relatif a un triangle infiniment petit; mais ici une observation est nécessaire : si, pour démontrer le théorème relatif à un triangle quelconque, on devait l'établir d'abord pour un triangle infiniment petit, en prouvant que, dans ce cas, il est rigoureusement exact, il n'y aurait aucun avantage, ou, pour parler plus exactement, l'énoncé ne serait modifié en rien. Lorsqu'on dit en effet qu'un triangle infiniment petit possède une certaine propriété, cela signifie que l'énoncé s'applique à un petit triangle avec une erreur qui diminue avec les dimensions et devient négligeable à la limite. Quand on dit, par exemple : la courbure totale d'un triangle infiniment petit est égale à l'excès de la somme de ses angles sûr deux angles droits, cela veut dire que la différence entre la courbure totale, qui est du second ordre, et l'excès de la somme des angles sur deux droits, est un infiniment petit du troisième ordre. Si l'on voulait dire que la différence est rigoureusement nulle, les dimensions infiniment petites du triangle ne joueraient aucun rôle dans l'énoncé, et il serait inutile de les mentionner.

Il est clair d'ailleurs qu'en admettant l'énoncé entendu de cette manière, on en pourrait conclure ensuite que Tégalité est rigoureuse pour un triangle quelconque, et par conséquent pour un triangle infiniment petit. Lorsqu'en effet on décompose un triangle fini en triangles infiniment petits, la somme des courbures de ces triangles étant finie, celle des infiniment petits du troisième ordre que l'on néglige dans l'évaluation de chacune d'elles a une limite nulle, et ne peut exercer d'influence sur le résultat.

728. Connaissant l'expression de la courbure totale d'un triangle formé par trois lignes géodésiques, on en déduit celle d'un polygone quelconque formé par de telles lignes : elle est égale a l'excès de la somme des angles sur autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux.

729. Lorsque deux «urfaces sont applicables Tune sur l'autre, leur courbure est la même aux points qui se correspondent. En d'autres termes, lorsqu'on déforme une surface sans altérer les longueurs des lignes qui y sont tracées, le produit des rayons de courbure en chaque point reste invariable.

Considérons, en effet, un triangle infiniment petit ABC formé par trois lignes géodésiques : R et R' étant les deux rayons de courbure de la surface, la courbure