ABC

totale de ABC est égale (722) à -^|^-, elle est aussi (726), en désignant les trois angles par A, B, C, égale àA-f-B-hC — ;r:ona donc

Si l'on déforme la surface sans altérer les longueurs des lignes qui y sont tracées,

le triangle ABC ne cessera pas, après la déformation, d'être formé par trois lignes géodésiques delà surface déformée; les angles A, B,C, ne changeront pas, non plus que l'aire ABC, et l'équation (i) doit par conséquent s'appliquer au nouveau système, ce qui exige que le produit RR' n'ait pas changé de valeur.

On peut démontrer cette proposition importante sans la rattacher à la précédente.

Supposons qu'un fil de longueur infiniment petite a ait l'une de ses extrémités fixée au point considéré M, et tourne en restant tendu sur la surface ; l'autre extrémité de ce fi! décrira une courbe dont la longueur ne variera pas lorsqu'on viendra à déformer la surface, et qui, de plus, pourra être considérée comme décrite sur la surface transformée, de la même manière qu'elle l'avait été sur la surface primitive, et à l'aide d'un fil de même longueur. Or nous allons calculer le périmètre total de cette courbe, et l'on verra qu'il ne peut rester constant que si le produit RR' des rayons de courbure est lui-même invariable.

Soient â:,j, z les coordonnées du point M; faisons, suivant l'usage,

(2) ' dzr=.pdx-\'qdy^ dp = rdx -k- sdy ^ dqz=sdx-i'tdxy

d'où l'on conclut

(3) d^z = pd^x -^^ qd^x "h rdx^ -^ 7. sdxdy+ tdy^.

Appelons s l'arc d'une ligne géodésique passant au point (a?, j, z) : on sait que la normale principale de cette ligne coïncide avec la normale à la surface ; il en résulte, en prenant s pour variable indépendante,

(4) rf*jc-|-/?rf»z = o, dy-{^qd*z = o.

La direction de la normale k la surface forme en effet avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à/?, ^r et — i , et celle de la normale principale de la

d^x d^Y d^ z courbe forme des angles dont les cosinus sont proportionnels (587) à -^» 3^» "^ 5

les équations (4) expriment que les deux directions coïncident. En différentiant les équations (/|), on a

d^x -^pd^ z -+- ( rdx -f- sdy) d'z = o , •

rf*j H- qd^z -h (sdx -4- tdx)d^z = o.

De plus, si nous nommons Ç, >}, Ç les coordonnées de l'extrémité d^un arc égal à dp porté sur cette ligne à partir du point (a?^ y^ z)^ nous aurons

y dx d^x a* . d^x a^ ,

^ ds ds^ n ds* 6

dy d*r o-* . d^y o^ ,

dz d'za' . rf'zff» ,

Supposons maintenant que le point (a?, j, z) soit le point désigné ci^dessus par M ; prenons ce point pour origine des coordonnées, l'axe des z étant dirigé suivant la normale à la surface : nous aurons

On peut d'ailleurs disposer Taxe des X de façon que Ton ait 5 = 0. Il suit de ces hypothèses et des équations écrites plus haut

dz = Oy d^z=rrdx^-htdjr^y rf«x = o, rf»j=o, d* j: -i- r^dx* -h rtdxdy^ = o , rf»j-h rtdx^dy -f- Pdy^ = o.

Nommons a l'angle que fait avec Taxe des X la tangente k l'arc a mené par l'origine, de sorte qu'on ait

dx dr

nous en conclurons

^ = cos«, •2^=sina,

-— - == rcos* a -f- / sm' a,

ds'

rf»x "2?

= — r* cos* a — rt cos a sin' a ,

et par conséquent,

-~7 = — ri cos' a sin a — /' sm* «,

l =9 cos a — -g- (r* cos* a 4- r/cosasina), 7) = 0* sin a — -^(ri cos» a sin a-h /»sin* a), Ç= — (rcos»a-f-^sin*a).

En donnant à a toutes les valeurs de zéro à 271, on aura successivement, par ces formules, tous les points de la courbe fermée définie plus haut. Si maintenant nous désignons par X Tare de cette courbe, lequel est une fonction de a, on aura

ou bien, en ayant égard aux valeurs précédentes de §, 77, Ç, et observant que a seul est variable,

d'k = do: i/o'' X- =da (a— ^^ H V

on en conclut

A = a I 9 g- -h • • 1 -i- consl. ,

et si l'on suppose que l'arc commence au point pour lequel a est nul et finisse à celui où a est égal à htt, on a enfin pour la longueur totale / de la courbe

ou bien, en nommant R, R' les deux rayons de courbure.

Cette valeur de / ne devant ptis changer lorsque Ton déforme la surface, il en est de même évidemment du produit RR'.

Condition pour que deux surfaces soient applicables Vune sur Vautre.

730. Deux surfaces étant données, le théorème de Gauss ne suffit pas pour décider s'il est possible on non de les appliquer Tune sur l'autre; on peut, en effet, quelles que soient les deux surfaces, établir entre leurs points une loi de correspondance telle, que les courbures soient les mêmes aux points qui se correspondent; il suffit pour cela de regarder comme lignes correspondantes celles qui correspondent sur les deux surfaces à une même valeur du produit des rayons principaux, et d'établir ensuite entre les points de ces deux lignes une loi de correspondance arbitraire telle, que chaque point de Tune ait son correspondant sur l'autre. La courbure sera la même aux points correspondants ainsi définis, mais les deux surfaces ne seront pas pour cela applicables l'une sur l'autre; Gauss nous a appris, en effet, que si une surface est applicable sur une autre, la courbure est la même aux points correspondants; mais la réciproque n'a pas été démontrée et n'est pas exacte.

Plusieurs méthodes ont été données pour décider si deux surfaces sont ou non applicables l'une sur l'autre. Celle que nous allons exposer est due à M. 0. Bonnet.

Soient u et v deux variables en fonction desquelles soient définis les points de la première surface, u' et (/ celles qui définissent les points de la seconde. Supposons que les expressions des distances de deux points infiniment voisins soient, sur l'une et sur l'autre surface

Cherchons a établir, s'il est possible, entre u, v, uf, i/ deux relations telles, qu'il

en résulte identiquement

ds'=zds\

Si l'on exprime pour chaque surface la courbure ^^ en fonction des variables qui

servent à définir ses différents points» en nommant k et k les expressions de ces courbures en fonction de z^ et (^ pour la première surface, de u' et ^ pour la seconde» on doit, d'après le théorème de Gauss, avoir aux points correspondants la relation

Pour obtenir une seconde équation, supposons que l'on ait tracé sur les deux surfaces les courbes lieux des points pour lesquels le produit RR' est constant : celles qui correspondent à une même valeur de ce produit sur les deux surfaces renferment les points homologues. Soit A un point de Tune d'elles, et A' le point correspondant de lautre ; il faut évidemment qu'en élevant sur chaque surface des lignes infiniment petites égales, perpendiculaires aux deux courbes, l'une en A, l'autre en A', leurs extrémités M, M' se correspondent, et que les courbures des deux surfaces y soient par conséquent les mêmes.

Pour exprimer cette condition par une équation, nommons u, (^les coordonnées du point A, u\ s/ celles du point A', u-hdu, {^-{-dç^ u'-^du^ v' -hd^ celles des points infiniment voisins dont nous avons parlé; on a, puisque les longueurs AM, A'M' sont égales,

(3) kdu'-hiBdudv-^Cdv' = k'du'^'{-2B'du'dv'-^C'dv\

D'ailleurs, pour que le point M, corresponde à M\ l'égalité £ = ^doit être satis^ faite par les coordonnées de ces deux points, et l'on a par conséquent

dk . dk , dk* . , dk' .,

Enfin, puisque AM est perpendiculaire à la ligne dont l'équation est

/r = consl., si l'on prend sur cette ligne une longueur infiniment petite AB à partir du point A,

le triangle MAB étant rectangle, on aura

(4) mb*=mIVab'.

Les coordonnées du point A sont u et f', celles de M, u + dv^ v-\-dv. Soient u + e^a, v-^-dv celles du point B; en exprimant à l'aide de l'équation (i) les trois termes de l'équation (4)> celle-ci devient

A(rfw — ÔM)^-i-2B(rftf — aa)(di/ — a(/)4-C(rfv— i(')'=Arfa»-haBrfarfv-hCrfv»

c'est-k-dire

(5) kduàu-^B(dudv-\'dvàu)-{-Cdvdv = o.

D'ailleurs la variation de k étant nulle lorsque Ton passe du point A au point B, on a

et rélimination de au et de âv entre les équations (5) et (6) donne

Posons

dk j dk j ,,

du dv

Élevons cette équation au carré et ajoutons-la membre à membre avec la première

des équations (i) préalablement multipliée par un facteur X, nous aurons (8) i^du-^^^dv\\xkdu^

Déterminons X» qui est arbitraire, par la condition que le premier membre soit le carré d*un binôme de la forme Vdu-k-i^dv : on voit aisément qu'il faut prendre

Ag.)--»B§g^o(gy .

l'équation (8) devient alors

(9) ^^-^ ' B'-AC ^î^i-i=rf)!»4-Xrf,S

et par conséquent, à cause de l'équation (7),

rf/r'-f.Xrf5» = o, c'est-à-dire

dk /— iA(r.y-"°Ê^-^^(Êy