X -h s cos X, r-f- « cos IX
Or on a (53), en négligeant les infiniment petits du second ordre,
rfF dY
F(:r-H6C0S>, J-h «cos^a) =:F(jr, j) -+- -j~ « cos X-h ^ g cos f*,
et puisque F {x,y) est nul, le second membre se réduit k
/rfF , rfF \
^Irf^^^^'-^rf^^^^^j'
c'est-à-dire, en remplaçant cos X et cos jut par leurs valeurs (81 ),
F (^-hscosX, j^*H-f cospi) = ±%
[\dx] ^\dr) . ,//rfFv^ /rfF\^
L'extrémité de la longueur i étant, par hypothèse, extérieure à la courbe, la valeur correspondante de F est positive, et il faut, par conséquent, danslesecond membre, adopter les signes supérieurs, ce qui exige qu'on les adopte aussi dans les valeurs de cos X et de cos fx.
Détermination de quelques tangentes.
83. DoDnons niaînteDant quelques exemples de déterminaiion de tangentes, en choisissant, de préférence, les problèmes déjà traites par des considérations géométriques.
Problême I. — Tangente à la cycloïde.
Soient AX la droite, sur laquelle roule le cercle générateur, A le point de contact de ce cercle dans sa position initiale. A' le point de contact du cercle dans une se-
conde position, M la position correspondante du point générateur; on aura, par ta définition même du roulement,
aA.frA'M = A'A.
Si Ton prend pour axe des X la ligne AX, ^et pour axe des Y une perpendiculaire élevée en A, les deux coordonnées du point M seront,
MP=j, PA = :r,
et Ton aura, en désignant par a le rayon du cercle et par u l'angle MO A',
j = QP -I- MQ =^a — a cos ;/, X = AA' — OQ =:au^a sin u.
Les deux équations
(i) j^ = « (i — cosm),
(2) x = a{u — sinu],
, donneraient, par Télimination de w, l'équation de la cycloïde. Cette élimination est facile, car on tire de la première de ces équations,
u = arc cos
et l'on peut porter cetle valeur dans la seconde équation, en remarquant en outre que Ton a
sin
mais il est plus simple de différentier directement les éc|uatioDS ( i ) et {2). On en
déduit
dy = rt sin wrfw,
dx^=a (i — cosu)duy d'où Ton conclut •
dy sin u i
^ := =r col - u.
dx I — cos u 2
La tangente ayant pour coefficient angulaire cot- u, l'angle qu'elle forme avec Taxe
des X est égal à - — - m, et la normale fait avec le même axe Tangle - u. On en conclut, conformément à ce qui a été dit (14), que la normale est MA', et la tangente MK.
De l'équation
dr I
-Y- = col - u dx 2
on peut déduire l'expression de ^ en fonction dey, dont nous aurons à faire usage.
On a, en effet,
cos u = =- ?
yh/ay — Y^
sm u = s^ ?
Y I — cos tt = - :
par suite.
dr
-;- = col - a = = i/
dx 1 1 — cos u y y
Cette équation prend une autre forme si, laissant les axes parallèles a leur direction actuelle et changeant le sens de l'axe des Y, on transporte l'origine des coordonnées au sommet de la courbe, dont l'ordonnée est 2a. Les formules de transformation sont
y^=ia — y,, j7 = j:, -f-îTû,
et l'on a, en supprimant l'indice de j,
dx V 2 a — y
Problème 11. — Tangente à iépicydoïde,
L'épicycloïde est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un
cercle mobile roulant sur un cercle fixe, de telle sorte que les arcs des deux circonférences, dont les points s'appliquent successivement les uns sur les autres, soient constamment égaux en longueur.
Considérons un cercle de rayon r roulant sur une circonférence fixe de rayon R. Soit  la position initiale de Tun des points de la circonférence mobile ; lorsque cette circonférence sera venue, dans son mouvement, toucher la circonférence fixe en A', le point A sera venu en M ài l'extrémité de Tare A' M, égal en longueur à A' A. Si Ton prend pour axes de coordonnées deux diamètres rectangulaires CX et CY de la circonférence fixe, dont le premier, CX, passe par le point A; en posant A'CA = y,
on aura A'C'M = y — > et les coordonnées du point M seront
j: = (R + r) oos<p — rcos U H — ^j ? -^ j= (R + r) sin ^ — rsin ( <pH ? j» ^
on en déduit
Jj=(R+r) cosy — cos U-h — j di^, rf^=(R-f-r) — sinep-hsin ( <pH -\ j d^
et par suite
dy^ dx
COSq
:lang
sin (?-*--—] — sin<p
Or enjoignant KM, on voit que Tangle formé par cette droite avec l'axe des X est précisément ©h — -^ elle est donc la tangente au point M, et la normale est par conséquent dirigée vers le point A'.
Problème III. — On abaisse^ d'un point 0, des perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe plane; déterminer la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires.
m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Pour résoudre ce problème, dont la solution géométrique a été donnée (14), prenons pour origine des coordonnées le point 0; soient x, y les coordonnées d'un point M de 1^ courbe donnée, Téquation de la tangente MP est
Celle de la perpendiculaire OP,
Si entre ces deux équations et celle de la courbe donnée, on élimine y et a , on obtiendra l'équation de la courbe lieu des points P; mais, pour déterminer la tangente, cette élimination n'est pas nécessaire. Éliminons en effet entre les équations
dy ( 1 ) et (îi) le rapport ^» nous obtiendrons la relation suivante, entre les coordonnées a et / du point P,
(3) u}^V = iiy-^tx, et en differentiant cette équation,
(4 ) 2udu-h^tdt = udy-^ tdx-^ ydu -f- x d(. Or on déduit de l'équation ( 2 )
udy-i- tdx = 0.
L'équation (4) devient donc
2 udu-i^utdt =ydu-\-xd(f d'où l'on déduit
du o. '
dt y
et Ton voit que la tangente cberchée, 'dont le coefficient angulaire est -7^» est perpendiculaire a la ligne qui joint le point P du lieu, au point milieu de OM dont les
X y* coordonnées sont - et -• Ce qui équivaut au résultat trouve (14).
Problème IV. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les tangentes
dune courbe plane ^ et l'on prolonge Chaque perpendiculaire Ofjusquen un point Q, tel que
pP.OQ = aS
a étant une ligne donnée. Tromper la tangente à la courbe lieu des points Q .
La solution géométrique de ce problème a été donnée (14). L'analyse conduit facilement au même résultat. En nommant x et j les coordonnées du point de contact M» l'équation de la tangente MT est
et celle de la perpendiculaire OP
i \ dx ^
On a d'ailleurs, en nommant â?i , ji les coordonnées du point Q,
et en remplaçant ^ par — — (à cause de l'équation (2) à laquelle w = y, , / = a?, , satisfont), il vient
OU, en réduisant,
(3) yyt-^xx,=a-.
En différentiant cette équation, on en conclut
(4) ydy\ -{-yydy-^xdx, -hx^dx=:o;
mais le point Q, étant sur la droite représentée par l'équation (2), on a
j, dy-hXi dx = o,
et l'équation (4) se réduit à donc
ydyi-hxdxt = o,
dyj__ f
dxx y
c'est-à-dire que la tangente cherchée est perpendiculaire à la droite OM, ce qui est d'accord avec le résultat trouvé (14).
84. Dans la solution des deux prohlëmes précédents certains termes disparaissant d'eux-mêmes de l'équation obtenue par la difTérentiation, il en est résulté une grande simplification dans les calculs. Cette simplification tient à une circonstance géométrique commune aux deux problèmes; elle se présenterait également dans un grand nombre de cas analogues. Voici l'énoncé général d'un problème pour lequel elle a lieu, et qui comprend les deux précédents comme cas particuliers.
Problème V. — Déterminer la tangente à une courbe dont les points se déduisent^ suivant une loi connue^ des tangentes à une autre courbe donnée. Soit
l'équation de la courbe donnée; l'une de ses tangentes a pour équation
Les coordonnées a?, , y, du point correspondant de la courbe cherchée sont des fonctions données des coefficients de cette équation, elles ont, par conséquent, des expressions de la forme
Pour déduire de ces équations le coefficient angulaire de la tangente cherchée
dfx
^1 posons
dy dr
on aura
dx,
rfF.
du
dr-
rfF, - du
du
rfF, , 4- -7- dv, dv
mais
di^ =zd [y — ux) = rf/ ^ iidx — x du.
Or, à cause de l'équation ^ = a, cette valeur de ds^ se réduit a — xdu, et Ion a
on en conclut
, rfF. , rfF. ,
dxi = -ï— du — X -7~ au, du dv
dyx = —7— du--- X — r- aw,
djr, du dv
d^i'^ dF^ rfF/
ce qui résout le problème. La simplification du résultat tient a ce que la difïerentielle du se trouvant facteur commun, le rapport ^ se détermine sans qu'il soit nécessaire
de connaître la dérivée de ^9 que, sans cette circonstance, il aurait fallu calculer.
On voit que dans l'expression de dx^ et dans celle de dy^, les termes en dy et en dx se détruisent, et qu'il ne reste que ceux dont le multiplicateur est du. Les calculs sont donc les mêmes que si, en passant d'une tangente à la tangente infiniment voisine, on se contentait de faire varier le coefficient angulaire u, sans changer les coordonnées x eiy du point de contact, et la tangente cherchée est la même que si. la droite qui sert à déterminer les différents points de la courbe, tournait autour d'un point fixe : c'est ce que nous avons déjà vu ( 14).
85. Problème VL — On porte, à partir des différents points d'une courbe plane donnée, une longueur constante sur les normales à cette courbe; trouver la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus.
Soient x^y les coordonnées d'un point de la courbe donnée, ^, u les coordonnées du point correspondant de la courbe qui s'en déduit ; en nommant X, fx les angles formés par la normale avec les axes, on a évidemment
on en déduit par la différentiation
rf/ = rfj? H- Id cos >,
du=zdy -{- Id cos f*.
Multiplions la première de ces équations par cos X, la seconde par cos /i, et ajoutons-les ensuite, il viendra
(3) cos \dt-^ cos ftrfii = dx cos X -H rfj cos fi -+- / (cos X d cos X -h cos \l d cosfi) ;
mais de Téquation
cos*>-4-cos*fA= I, on déduit, en difTérentiant,
(4) COS>rfcOS> -+-COSf*rfcOSp =o,
d'ailleurs (81)
(5) rfxcos>-f-rfycos/A = o, et l'équation ( 3 ) devient
(6) cos > dt -h cos \idu = o ; la comparaison des équations (5) et (6) donne
dl dx^ du dx
les tangentes aux deux courbes sont donc parallèles, ainsi que nous l'avons trouvé géométriquement (14-).
86. Problème VII. — Lorsqu'un angle de grandeur constante se meut de telle sorte
que ses côtés touchent constamment une courbe plane donnée^ son sommet P décrit une
courbe, dont la normale s'obtient en joignant le point P au centre du cercle qui
^ passe par ce point et par les points A et B, où les côtés de l'angle mobile touchent la
courbe donnée, i
Soit
l'équation de la courbe donnée ; nommons a, /3 et a', ^' les coordonnées des deux points de contact, et a la tangente trigonométrique de l'angle donné. Outre les égalités p = ç (a), P' = <p(a'), on aura, pour déterminer les coordonnées a?, jdu point P, les équations
Eliminant ^ et ^, entre ces équations, on aura
Cette égalité, en y considérant x et y comme seules variables, représente un
cercle qui passe par le point P et les points (a, |3) (a', |S'). Si Ton différentie cette équation, on aura
[2a^'— a(p-hp')-f-(a' — a)]rfr-+-[2aa;— a((a-ha')H-(p — p')]rfx
Si maintenant on remplace dans l'équation (5) les valeurs dej' — ^ et de j — /3' tirées des équations (i) et (2)^ les coefficients de da et d(x! disparaîtront à cause
des équations (i), (a) et (3). L'expression du coefficient différentiel -^ est donc la
même, soit que Ton considère, dans l'équation (4), a et a' comme variables ou comme constants. La tangente, au lieu des points P, se confond donc avec celle du cercle représenté par l'équation {4)f lorsqu'on y regarde a, |3, «', /3' comme constants.
Remarque relatwe aux problèmes précédents.
87. Les problèmes précédents sont tous compris dans ce même énoncé général : les points d'une courbe 2 se déduisent par une certaine construction des points et des tangentes d'une autre courbe S; connaissant la tangente en un point donné de la courbe S, trouver la tangente au point correspondant de la courbe 1.
Le problème a été résolu dans les cas particuliers choisis pour exemples, mais il ne faut pas croire pour cela que la solution soit toujours possible. Si l'on choisit au hasard la construction à l'aide de laquelle les points de la courbe 2 se déduisent des points et des tangentes de la courbe S, la tangente à la courbe 2 ne sera pas déterminée lorsqu'on se donnera seulement le point correspondant de S et la tangente en ce point. Si cette détermination a été possible dans les cas particuliers que l'on a examinés, c'est que ces cas ont été choisis pour qu'il en fût ainsi.
On a déjà expliqué (84) à quoi tient, pour deux d'entre eux, la simplification qu'a présentée la solution; nous allons montrer pourquoi le résultat demandé est impossible en général.
Soient a? et y les coordonnées d'un point de la courbe S, eip le coefficient angulaire de la tangente en ce point, a:, et j^ étant les coordonnées au point correspondant de la courbe 2, on aura, d'après la définition de cette courbe,
ç et F étant deux fonctions dont l'énoncé détermine la nature. Or on déduit de ( i)
par suite,
d¥ . dF . dV , djr,=^^da:+^dr+^dp,
dff d^ dy dtf dp d^ dtf dff dp
dfx cLv dy dx ^p dx dx " dy dp dx
dx dy dx 'Sp dx dx '^ dy dp Ibc
On voit que -7^9 coefficient angulaire de la tangente cherchée, contient non-seulement a;, j et/>, comme dans les cas particuliers qui ont été examinés, mais encore -7^. Lors donc qu'on se donnera un point de la courbe S et la tangente en ce point, la tangente au point correspondant de la courbe 2 restera, en général, indéterminée.
Tangentes aux courbes rapportées ausç coordonnées polaires. 88. Lorsqu'une courbe est définie par une équation en coordonnées polaires,
on peut facilement déterminer, en chaque point, la direction de sa tangente. Soit M un point donné sur la courbe ayant 00 et /9 pour coordonnées; soit M' un point voisin, menons les rayons vecteurs OM, OM', et du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons un arc de cercle MP terminé au rayon OM' : on aura évidemment
OM=p, arcMP = prf«.
De plus, M'P étant l'accroissement infiniment petit de p, peut être considéré (46) comme égal à rfp ; or on a, dans le triangle MM'P,
MP sinMMP M'P~'sinM'MP
A la limite, ^ est égal à p ^^ le triangle MM'P est rectangle, et le rapport ^!^^,^p
devient égal à la tangente de l'angle V formée par le rayon vecteur avec la portion de tangente dirigée du côté vers lequel l'angle w décroît. On a donc
Lorsqu'une courbe est rapportée k des coordonnées polaires » on désigne quelquefois sous le nom de tangente, normale, sous-tangente, sous-normale, quatre lignes que nous allons définir.
Élevons par le pôle 0 une perpendiculaire au rayon vecteur OM; soit T Tintersection de cette perpendiculaire avec la tangente, et N son intersection avec la normale en M, MT se nomme la tangente, MN la normale, OT la sous-tangente, ON la sous-normate.
Le calcul de ces quatre lignes n'offre aucune difficulté. On a
OT
