ON = S

89. Comme application des formules précédentes, déterminons la tangente à la spirale logarithmique dont Téquation est

> = ««'"«, on a

XT rfw mai I I

tanff Y =• p -7- = a^ = — •

L'angle Y est donc constant et il a pour tangente -^« Ainsi la spirale logarithmique

coupe sous un angle constant les rayons vecteurs issus d'un point fixe. Si l'on suppose m=zOf l'angle Y est droit et la spirale logarithmique devient un cercle.

Nous appliquerons encore les coordonnées polaires à la ^solution du problème suivant.

Problême YIII. — D'un pointée 0 situé dams le plan d'une courbe S, on mène à cette courbe des rayons vecteurs que l'on prolonge dune quantité constante l; tromper la tangente à la courbe Z, Ueu des points ainsi obtenus.

Prenons des coordonnées polaires et pour pôle le point fixe 0 ; si l'équation de la courbe donnée est

celle de la courbe qui s'en déduit est

et l'on voit que la sou»-normale S>, étant exprimée par 7^' a la même valeur pour les deux courbes, en sorte que les normales aux points correspondants vont concou-

ri r sur la perpendiculaire au rayon vecteur menée par le point 0 ; de là résulte une

construction très-simple pour la normale, et par suite pour la tangente.

Il suffit, en effet, pour obtenir la normale au point M' de la courbe 2, de mener la normale en M à la courbe S et de joindre M' avec le point où cette normale rencontre la perpendiculaire ON au rayon vecteur OMM'.

90. M. William Roberts a remarqué que p et w représentant les coordonnées polaires des points d'une courbe, si Ton pose

on en déduit

prfw p' dffi'

et, par conséquent, la courbe dont les points ont pour coordonnées p' et w' et la courbe proposée, coupent leurs rayons vecteurs correspondants sous le même angle. Il en résulte le moyen de déduire de deux courbes données, deux autres courbes qui se coupent sous le même angle qu'elles.

Si Ton considère, par exemple, les droites dont les équations sont

pC05w=:a, p COS (w — y) = p,

OÙ 0( et /3 sont arbitraires, et 9 désigne un angle constant, ces droites se coupent évidemment sous Fangle o. On en conclut que les courbes représentées par les équations

p" COS « w = a", p''COS(/lw — (j>) = P"

se coupent toujours sous l'angle ç, quelles que soient les valeurs attribuées à a et ]S. En supposant n = a, on obtient le théorème suivant :

Un système d'hyperboles équUatères concentriques et semblablement placées est coupé par un autre système de même nature sous un angle constant ^ double de celui que font les axes des deux systèmes .

Si Ton fait n = -> les courbes deviennent des paraboles de même foyer, et l'on

a le théorème suivant : Toutes les paraboles ayant le même foyer et le même axe,

sont coupées par des paraboles de même foyer, mais d'axe différent, sous un angle moitié de celui que font les axes des deux systèmes de courbes,

M. Roberts a déduit de sa remarque un grand nombre de théorèmes, dont quelques-uns sont indiqués comme exercices à la fin du chapitre.

Tangentes aux courbes à double courbure.

9i . Soient <f {x,y, z) ^o, i^ {x, y, z) = o, les équations d'une courbe à double courbure; cherchons sa tangente en un point donné.

La tangente est la limite de la ligne qui joint deux points infiniment voisins, et l'on sait (13) que Ton peut, sans changer cette limite, remplacer l'un des deux points par un autre, qui en soit situé à une distance infiniment petite du second ordre. Si donc a?, j, z sont les coordonnées du premier point, on pourra regarder celles du second comme égales à a? -4- dx, y -h dy^ z -h dz; on sait en effet (46) que dy et dz ne diffèrent des accroissements véritables Aey et de z que par des infiniment petits du second ordre.

Si /, u, V désignent les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint les deux points dont les coordonnées sont x, y, z^x-+' dx, j -H rf^, z -4- rf^, les équations de cette droite sont

dx ~~ dy "" dz

Pour avoir, sous forme finie, les équations de la tangente, il suffit donc de trouver trois quantités finies proportionnelles à dx, dy, dz, et d'écrire que ces quantités sont aussi proportionnelles à / — a?, w — j, (^ — z; or on a trouvé (62)

dx dy dz

d(fd^ d^d'^ dff d^ a^dy d^fd^ d^^d-^ dz dy dy dz dx dz dz ^ dy dx dx dy

Les équations de la tangente sont donc

d^ d^ d^ d^ difd^^ cT^d^ d^d^ dfd^ dz dy dy ^ dx dz dz dx dy dx dx dy

On donne quelquefois k ces équations ui^e autre forme qu'il est bon de connaître. Elles expriment qu'il y a proportionnalité entre les différences t -- x, "— J» ^"- ^> et les différentielles dx, dy^ dz. Or ce? différentielles satisfont aux équations

Si donc on écrit

on aura exprimé que les différences / — x, u — y^ ^ -^ z, ont les mêmes rapports que dœ, dy, dz, et qu'elles leur sont, par conséquent, proportionnelles. Les équations ( I ) qui représentent deux plans sont donc, si l'on veut, celles de la tangente.

92. Les équations de la tangente à une courbe conduisent, sans difficulté, à celle du plan normal. Pour obtenir ce plan, il suffit en efTet de remarquer qu'il passe par le point dont les coordonnées sont x, y, z, et qu'il est perpendiculaire à la tangente. Les formules de la géométrie analytique donnent d'après cela pour son équation

(/ — x) dx -4- [u — y) dy-\-(v^z) rfz=o,

dans laquelle dx, dy, dz, devront être remplacés par les fonctions qui leur sont pro* portionnelles. On peut d'ailleurs démontrer directement cette équation. Soient/, m, ^, les coordonnées d'un point quelconque de Tespace, les différences / — j:, u — v, i^ — z, sont proportionnelles aux cosinus des angles formés avec les axes par la droite qui joint ce point au point donné de la courbe dont les coordonnées sont x,y, z. Mais dx, dy, dz, sont proportionnels aux cosinus des angles formés par la tangente à la courbe avec les mêmes axes, et, par suite, la coiidition pour que ces deux directions soient perpendiculaires, c'est-à-dire pour que le point /, u, ç appartienne au plan normal, est précisément

(/ — x) dx-\- [u — y) rfjH-(v — 2) rfz = o.

Courbes tracées sur une sphère.

93. L'étude des courbes tracées sur la sphère a conduit les géomètres à des résultats intéressants, et dont l'analogie avec les propriétés des courbes phnes est digne de remarque. Nous nous bornerons à indiquer ici le système de coordonnées le plus habituellement employé pour représenter les points d'une sphère et le moyen d'obtenir la tangente k une courbe définie par une équation entre les deux coordonnées de l'un quelconque de ses points.

Considérons sur la sphère un point P, auquel nous donnerons le nom de pôle; le grand cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon qui aboutit en P, recevra le nom d'équateur ; les grands cercles passant par le point P seront des mèridiejis, et les petits cercles ayant leurs plans parallèles à l'équateur, des parallèles. Les

points de la sphère seront définis par le méridien et le parallèle sur lesquels ils se trouvent, le premier étant donné par l'angle <p, formé avec un méridien fixe, et le second par sa distance au pôle, comptée sur un arc de grand cercle. 9 variant de o di un et Q de o k n, tous les points de la sphère sont représentés. Ce système équivaut évidemment à l'emploi de la latitude et longitude géographiques à la surface de la terre, 9 désignant la longitude et 6 le complément de la latitude.

Soit une courbe définie par une relation F (9, f ) = o entre les coordonnées de vses points. Soient M un de ses points et M' le point voisin ; du point P comme pôle,

avec PM ( c'est-à-dire R6) pour rayon sphérique, décrivons un petit cercle MM« . Le triangle MM'M, pourra être considéré comme plan et l'on aura

„, MM

'«"S^'^MjiP'

M' étant l'angle formé par la courbe avec l'arc de grand cercle PM'. Or on a

M.M' = Rrfô,

MMi = RsinOâf7.

La première de ces équations est évidente, la seconde résulte de ce que MM| est un arc correspondant à l'angle dcp dans un cercle de rayon R sin 6. On a donc

lang M' = p . ■ . = -1— T • :t--

Si en M' on mène un grand cercle M'Q normal à la courbe considérée, et que du point P on abaisse un arc de grand cercle PQ, perpendiculaire sur M'Q, le triangle sphérique PQM' donnera

PQ

sin ~= = sîn Ô cosM'.

Équation du plan tangent à une sur/ace. 94. L'équation d'une surface en coordonnées rectilignes étant

si k partir d'un point de cette surface, ayant x, j, z pour coordonnées, on attribue à a? et à / des accroissements infiniment petits dx et cfy, on a vu (54) que

raccroissement correspondant de z peut être considéré, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égal à

dz j dz ,

^ et T^ étant les dérivées partielles de 2, lorsqu'on y considère successivement x et

y comme constants.

Diaprés cela, autour du point dont les coordonnées sont x^y^ 2, et à une distance infiniment petite de ce point, l'accroissement de z peut être considéré comme une fonction linéaire des accroissements de x et de/, et si Ton nomme /, u, v les coordonnées d'un point situé sur la surface à une distance infiniment petite du point a-, y, z, on a, en négligeant les infiniment petits du second ordre.

Cette équation étant du premier degré en /, a, v^ représente un plan qui, évidemment, passe par le point a;, j, z, et qui, pour les points infiniment voisins, est à une distance infiniment petite du second ordre de la surface considérée.

Nous allons prouver que ce plan contient la tangente à une courbe quelconque située sur la surface et passant par le point considéré. Menons par ce point M, dont les coordonnées sont a?, j, z, une courbe P située sur la surface, et soit, sur cette courbe. M' un point voisin de M ayant pour coordonnées ^ u, v. La tangente à la ligne P est la limite de la ligne droite MM'. Or on peut (13), dans la détermination de cette limite, substituer au point M' tout autre point qui en soit situé à une distance infiniment petite du second ordre, et par suite remplacer le point M' de la surface par le point du plan ( i ), dont les coordonnées parallèles aux x et aux y sont t et m; la troisième coordonnée {^ n'étant altérée, d'après ce qui précède, que d'un infiniment petit du second ordre. Mais après cette transposition du point M', la droite MM' est rigoureusement située dans le plan ( 1 ); il en est donc de même de sa limite, et la tangente en M à la courbe P, . c'est-à-dire à une courbe quelconque menée par ce point sur la surface, est par conséquent située dans le plan (i).

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

F(jc,r, z)=o,

il faudra, pour faire usage de l'équation ( 1 ), calculer d'abord ^ ^^ t-? à Taide des

formules

dY ' d¥dz

dz dx

dV dr +

d¥dz dz dy ~

et Téquation du plan tangent deviendra

Le même résultat peut s'obtenir à l'aide de formules données (91 ) pour la détermination de la tangente à une courbe à double courbure. Considérons, en effet, sur la surface donnée dont l'équation est F(a?,^, z) = o, la courbe qui résulte de son intersection avec une seconde surface ayant pour équation y (a?, j, ;s) = o, et passant par le point considéré a?, y, z. On a vu (91) que la tangente à cette courbe peut être représentée par le système des équations

Si la seconde surface est remplacée par une autre, assujettie seulement à passer par le point donné, la courbe d'intersection pourra prendre toutes les situations sur la première surface, et la tangente se déplacera, mais l'équation (i) restant la même, représente un plan dont cette tangente ne sort pas, et qui est précisément le plan tangent déjà trouvé par d'autres considérations.

Équations de la normale.

95. L'équation du plan tangent étant connue, on peut former facilement celles de la normale. En supposant les axes rectangulaires, ta normale fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels aux coefficients de l'équation du plan tangent ; cette droite passant par le point x,y^ z, les équations sont

dx dy dz

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

z — ^[x, x)s celles de la normale deviennent

/dz\ "■ dz \ dx j dy

c'est-à-dire

96. On peut diétinguer, à partir de chaque point d'une surface ayant pour équation F (o^, y, z) = o, deux directions opposées pour la normale; nous les nommerons direction extérieure et direction intérieure^ la direction extérieure se dirigeant vers les points de l'espace pour lesquels on a

et la direction intérieure vers ceux pour lesquels on a au contraire

Si X, /x, V, désignent les angles de la normale extérieure avec les axes de coordonnées, on aura toujours