OOS À

rfF dx

/(d¥Y (dVy /dFy dv

COS(i= — • ,

. //rfF\' JdVy /d¥Y

COSv =

rfF dz

Il est clair, en eftet, d'après les équations (i), (95), que les trois cosinus sont

proportionnels à y» -r:» -j-» et la somme de leurs carrés étant égale à l'unité, leurs

valeurs doivent être égales, ou égales et de signes contraires à celles que nous venons d'écrire. Cela posé, nommons s une longueur infiniment petite, portée sur la normale extérieure. Les coordonnées de l'extrémité de cette longueur seront

.r-f-ecos>, ^'-hicospt, z-h«cosv,

et l'on aura, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

^ ^f , d¥ , dV d¥

t [X-i- eCOSX, r-h cCOSp, 2-hsCOSv) — F ( JT, r, ^) = 77" «COSX + -^ aCOSfi-h -r: «COSv.

Mais par hypothèse

De plus,

ros X =

d¥ dx

iros f* =

eosv =

(dFy

^ //d¥\' idFy (dFy

et par conséqueni,

F(jf-f-8CosA, r + ccosfA, 2 -hfcosv) = ih

wm^m^'l

La normale ayant été menée extérieurement, le premier membre est positif, et par conséquent il faut, dans le second membre, adopter le signe supérieur, ce qui exige qu'on Tadopte également dans les équations précédentes.

97. Les formules qui font connaître la direction de la normale à une surface ayant une grande importance, il ne sera pas inutile de les démontrer directement, indépendamment de l'équation du plan tangent.

Soit

Téquation d'une surface : si, partant d'un point de cette surface dont les coordon>nées sont oc, y, z, on passe à un point voisin dont les coordonnées sont x-\- dœ, y -h dy, z -^ dz, la fonction F devant rester nulle quand on substitue aux trois variables leurs nouvelles valeurs, l'accroissement infiniment petit de F sera égal à zéro, et l'on aura

Cette équation est vraie en négligeant les infiniment petits du second ordre, si (U\ dy, dz, sont rigoureusement égaux, comme on l'a supposé, aux accroissements infiniment petits de x, de j et de js ; mais elle est rigoureusement exacte, si dx et dy, représentant les accroissements de x et de j, dz est égal à la différentielle de :;,

laquelle ne diffère, comme on sait (53), de F accroissement de z, que d'un infiniment petit du second ordre.

En entendant les choses de cette manière, Téquation ( i ), qui est rigoureusement exacte, prouve que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

proportionnels à ^» ^' 77~' ^^^ Perpendiculaire à celle qui forme des angles dont

les cosinus sont proportionnels à dx^ dy^ dz; cette dernière direction étant celle de la droite qui réunit deux points infiniment voisins de la surface, est celle d'une quelconque de ses tangentes, et la première est par conséquent celle d'une droite perpendiculaire sur toutes les tangentes, c'est-à-dire de la normale.

Détermination de quelques plans tangents.

98. Nous appliquerons les formules précédentes à quelques exemples. Exemple I. — Cherchons le plan tangent kla surface représentée par l'équation

(i) X — az -^ ^[jr^- bz) = o.

L'équation du plan tangent est, d'après les formules précédentes,

t-x^ {u--x) ?' ( j— bz) ^[a^b^'{x- bz)] [v ^ z) = o.

Les cosinus des angles formés par la normale avec les axes de coordonnées sont proportionnels à

et comme on a

on voit que la normale de la surface est perpendiculaire à la droite dont les

équations sont

x=zaz, r=bz,

et que par suite le plan tangent est parallèle à cette droite.

L'équation ( i ) représente en effet une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la droite x=:az^y= bz, et le plan tangent, contenant toujours iine génératrice, doit être, comme on l'a trouvé, parallèle à cette droite.

Exemple IL — Considérons, en second lieu, la surface dont l'équation est

}e plan tangent a pour équation

[t'-x) (a— aj:t') + (a-/) (6-2^^')+ (t^ - z) (i — a zç') = o. La normale a pour équations

a — 2 0:^' b — lyo I — 2 z cp'

La surface représentée par l'équation ( i ) est de révolution autour de la droite dont les équations sont

La géométrie montre que cette droite est rencontrée par toutes les normales à la surface. Il est d'ailleurs facile de le vérifier d'après leur équation générale trouvée plus haut.

Si, en effet» dans les équations (2) on remplace t par as^ et u par &f^, elles deviennent

av — X bv — y v — z

auxquelles on peut satisfaire en posant

99. Nous résoudrons enfin quelques problèmes, dans lesquels nous nous proposerons de déterminer le plan tangent à une surface suffisamment définie, mais dont l'équation n'est pas donnée.

Problème L — On abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan tan-» gent d'une surface S donnée par son équation; trouver le plan tangent à la surface 2 décrite par le pied P de cette perpendiculaire.

Soient a;, y, z les coordonnées d'un point de la surface S, le plan tangent en ce point a pour équation

/ \ dz . . dz , ,

la perpendiculaire abaissée de l'origine sur ce plan est représentée par les équations

dz W-+-4; -j- = 0.

Si entre les équations (1) et (2) on élimine ^et ^» on obtient la relation

(3) (t' — z)i/-|-(/ — ^)/-f-(w— j)tt = o,

qui a lieu entre les coordonnées x^y, zd'un point M de la surface S, et les coordonnées t, Uf v du point correspondant P de la surface 1,

98 PB£M1ÈR£ PARTIE. - OLCUL DlFPÉftENTffiL.

£û différeotiant ceUe équation, on trouve

V^ I (a t'— 2) rff -H ^2/ — jc)rf/ -|-(2 M — j) du — i/ fi^z — tdx — «dy=o.

D'ailleurs on a

tdx -i- udj'-hvdz = o, '

t, II, V sont en effet proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la perpendiculaire abaissée de Torigine sur le plan tangent à la surface S au point M, et dx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles formés, avec les axes, par la ligne qui joint, sur cette surface, le pointa?, j, z à un point infiniment voisin, et il est clair que ceb deux directions sont perpendiculaires. L'équation (4; se réduit, par suite, à

(5) [o.t — x) dt H- [^u — j) rfa+ [iv — z] dv = o.

Elle prouve que la droite qui fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dt, du, dv, c'est-à-dire une tangente quelconque à la surface 2 au point P, est perpendiculaire a celle qui fait des angles dont les cosinus sont proportionnels h (2/ — of), (2u— ^), (ai' — z), c'est-à-dire à la droite qui joint le p^nt

dont les coordonnées sont /, u, v, à celui dont les coordonnées sont ^> -9-- II

résulte de là que, comme on l'a démontré (14), la normale à la surface 1 passe par

le milieu de la droite OM dont les coordonnées sont -» -, £.

PROBr.ÉME II. — On abaisse d'un point 0 une perpendiculaire sur le plan tangent d'une surface S donnée par son équation, et l'on prolonge cette perpendiculaire OP jusqu'au point Q, tel que

OP.OQ = a%

a étant une ligne donnée. Trouver le plan tangent à la surface 2, Ueu des points Q.

Soient M le point de contact du plan tangent à la surface S, et x, y, z les coordonnées de ce point. L'équation du plan tangent est

/ \ / ^ \ dz , ,dz

la perpendiculaire OP a pour équations, comme dans le problème précédent,

dz dz

et si Ton nomme x^,y^, 2, les coordonnées du point Q, on aura par cotuséqHent

dz dz

OO» — j;» ^ v' -I- Z' — — - = ^ ^ ^ ^ -^ ^ -^ .

iiy ~^,-+-r. -^-^.-np^— / dz dz y