Dérivées de sin [m arc cosx) , pour ^ = o. — En posant
u = sin (marc cos x], on vérifiera, comme dans les cas précédents, l'équation
d^u du
' dx^ dx
de laquelle on déduira, pour a: = o,
Or on a, pour a? = o,
M=:sin (marccoso) = sin (rxA-f- 1) w - ?
du , , / » \ ff
■j- =ipmcosm (arc coso) = zpmcos (xAr-f-r) m- 9
k étant un nombre entier arbitraire et le signe — de la seconde équation correspondant au cas où ce nombre est pair; au moyen de ces valeurs on trouvera
, ^^^^ = ( — iYm\[m^ — 4) [f^^ — f6). . .(m' — 4^1*) sin (2/r-f i)m - 9 ^5j^=qp(— i)-/n.(/n'-i)(m»-9)...[m'— (an— i)']cos(2A- + i)m -•
1 56. Dérivées de{\ -\- x^Y sin [m arc tang x), pour x=zo. — En posant
H = (i-H^»)^ siii (marclangar),
et formant les dérivées -t- ^^77^' on trouve, par rélimination de sin (/w arc tang ^p),
et de cos ( m arc tang x ) entre les trois équations obtenues,
f .\ dUi , . du ^
(iH-ar*) -7-^ — 2(m— ijjc-i — hm'a — mw=o.
On en déduit, en différentiant/> fois,
, ^.dP-^^u dP^'u , ,dPu ., , dP^'u , . dP u
, dPu dPu
nV -i m -7 — =0,
dxP dxP
et, en faisant a? = o,
*+» u dPu , , ,
D'ailleurs, pour x = o [en supposant arc tang 0 = 0), on a
du
on en conclut,
1^^^"^^' ^— :r=(~0'''^('w— i)(m-2)...(m-2/i-hi)(m~2/i).
Si on laisse à l'expression arc tang x toute sa généralité, on a
arc tang o = A-tt,
et, pour iP = o,
w = sinm/r7r9 -r- = m cos m Arw;
on aura alors
, ^^^^ =( — 1)" m. (m — i). . ,[nt — 2/1) (m — 2/1 — ij.sinmXrTr, , ^^^ =(— i)"m.(m— i)...(m— 2n) cosm/r^r, A" étant un nombre entier arbitraire.
157. Dérivées de{\ -^ x^)"^ cos [marc tangx)^ pour x = o. —En posant
a = (i-+-x»)^ cos(marctang j;),
on trouve, par un calcul identique au précédent,
/ , d^u , .du
(H-:p') -7—^ — 2(m — 0^;7 — h/w'w — mw = o,
et l'on en déduit encore
dp+'u dPu , . , X
et d'après les valeurs de w.et de t-» pour a? = o, on trouve en supposant arc tang 0 = 0,
