Dérivées de ;;r^' /^^"^ a? = o. — En posant

cos w arc tang j:

et calculant m et -7- ? on vérifie facilement la relation \

dx \

I ,\ d^u f . du , .

dx^^'^"'^^^'^ dx on en conclut, en différentiant p fois et faisant a? = o,

fdP-^'u\ , ,, .rf/'w

et par suite, s\p est impair et égal k a A + i ,

rf^.*+. -^«^

et si p est pair et égal à 2X:,

rf**M

Dérivées et différentielles d'ordre supérieur pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes. Notation adoptée.

159. Lorsqu'une fonction contient plusieurs variables indépendantes, on peut en former la dérivée par rapport à Tune quelconque d'entre elles ; la notation au moyen de laquelle on représente cette dérivée est la même que dans le cas d'une seule variable indépendante. Si l'on a

les dérivées de u par rapport à x,y, js, sont désignées (50) par ^5 -7-^ j-- Les dérivées du second, du troisième ordre, etc., par rapport à Tune de ces variables, seront désignées de même, conformément aux notations indiquées plus , , rf'M d^u d*u

Lorsque l'on prend la dérivée de u par rapport à x^ puis celle du résultat par rapport à y, ou plus généralement lorsqu'on prend un certain nombre m de fois la dérivée par rapport à une variable x^ puis un nombre n de fois la dérivée par rap-

port ày, on désigne le résultat de ces opérations par , , „-

De même, si l'on avait à prendre la dérivée m fois par rapport a a?, n fois par

rapport ay, puis/> fois par rapport à :;, on désignerait le résultat par , ^, .;^«

Possibilité d'intervertir les differentiations .

160. L'étude des dérivées prises successivement par rapport à des variables différentes, conduit à un résultat important. L'ordre des opérations n'influe pas sur le résultat.

Pour commencer par le cas le plus simple auquel se ramènent tous les autres, supposons que l'on prenne la dérivée d'une fonction u d'abord par rapport à a?, puis la dérivée du résultat par rapport à y, et prouvons qu'il reviendrait au même de

prendre la dérivée par rapport à y, puis celle du résultat par rapporta x. Démontrons, en un mot, que rpn a

dxdy dydx ' soit

on a par définition

du ^ j.^ y(^-+-Aa?,j) — (p(j;,,r) <p(jr-hAj:,j)-~(p(j:, j) ^

£ étant infiniment petit en même temps que Ao^. Si l'on donne, dans cette égalité un accroissement Aj a j, et qu'on divise par Ly les accroissements correspondants des deux membres, on aura

(^y àx/^y Ar'

on a de même

du if(x, y-h^y) — tf{x,y) ^ dy ù.y "^"'

S, tendant vers zéro avec Ay, et en changeant a; en a? + Ao; et égalant les accroissements des deux membres respectivement divisés par A a?, on en conclut

,. dy ^rf[x-\r^x,y-\- ^y] — f^[X'\-^x,y)-'^[x,y-^^y]'{'^[xyy] A g.

\x Aa7Aj ^x'

Or dans ces formules, comme (136) et pour les mêmes raisons, -^ et —^ ont pour

limite zéro, d'ailleurs les premiers termes des seconds membres dans les équations (i) et (2) sont identiquement les mêmes, les premiers membres de ces équations ont donc la même limite. On a donc

du du

,. dx ,. dy

\y ix

c'est-à-dire

d^u d'u dx dy "" dydx^ comme on l'avait annoncé.

161. Deux difTérentiations consécutives par rapport à des variables différentes pouvant être interverties, il est clair que si l'on a un nombre quelconque de diffé-

iri8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

renlialions à effectuer successivement, Tordre dans lequel elles s'exécuteront est indifférent. La démonstration est identiquement la même que celle qui sert en arithmétique pour prouver que Tordre de deux facteurs consécutifs pouvant être changé dans un produit, on peut, par cela seul, disposer tous les facteurs dans un ordre arbitraire.

Différentielles des divers ordres pour les Jonctions de plusieurs

variables.

162. Soit a=ç(a?, j) une fonction de deux variables indépendantes. Si Ton attribue à chaque variable un accroissement infiniment petit, il en résultera, pour la fonction 9 (a?, y), un accroissement infiniment petit que Ton peut remplacer par tout autre infiniment petit ayant avec lui un rapport dont la limite soit Tunité. On a vu (54) qu'en désignant par dx et rf/ les accroissements infiniment petits des deux variables, on peut ainsi représenter l'accroissement correspondant de la fonction par

, du . du j du^^dx^^^df.

Si Ton attribue de nouveau à a? et à y des accroissements égaux à ceux qu'ils ont déjà reçus, du, qui est fonction de .r et dej, aura lui-même une différentielle que Ton désigne par d^ a, et Ton aura

En attribuant de nouveau à x et a j des accroissements égaux a dir et à rf^» ^' "> fl"* est une fonction de x et de y y aura une différentielle d^u donnée par la formule

En continuant à former les différentielles successives qui correspondent à des accroissements constants attribués à a? et à j^, on trouve par induction la formule

. d"u , ^ d^u j . , nf/i— i) rf"M , , , , d'u , ^

dx^ dx^-'dy -^ 1.2 ax^-'ay^ -^ dy" "^

que Ton écrit symboliquement

Dans le second membre de cette formule, il faut remplacer les puissances de du par

des différentielles d'indice égal à leur exposant, ainsi

du\i' {du\i dx )

ly (du\

devra être remplacé par

dxf dp

Cette formule a été vérifiée pour les valeurs i, a, 3,..., de w. Pour montrer qu'elle est générale, il suffit de faire voir qu'en admettant l'équation symbolique

, (du j du j Y

on en déduit, en adoptant les mêmes notations,

, . I du , du , \"-^'

Pour le démontrer, remarquons que, rf" m étant une fonction de j? et dey, la différentielle est donnée par la formule

<i"^'^=di{d'^'i)dx-^^[d'^u)dr.

il faut donc prendre la dérivée par rapport à a; de l'expression qui s'écrit symboliquement

multiplier cette dérivée par dx, puis prendre la dérivée de la même expression par rapport à y, et la multiplier par dy. Or si Ton multipliait l'expression par

du j du j

afin de former

[du , du , y-^'

on aurait précisément les mêmes calculs à faire, et les résultats s'écriraient absolument de la même manière En prenant en effet la dérivée par rapport à x d'un terme quelconque

. dP^u , , ^ dxPdyf " '

teo PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL. " \

et multipliant ceUe dérivée par dxy on trouve

ce qui est identique, pour l'écriture, au ternie qu'on aurait obtenu, en multipliant symboliquement

. dPudUi dxP dyi

par -j- dx. De même en prenant la dérivée par rapport à y, et multipliant

par dy, les termes obtenus s'écriront de la même manière que ceux que l'on

obtiendrait, en multipliant l'expression par t^ dy^ en sorte que l'opération qui

fournit la différentielle totale rf""^* a, conduit k écrire les mêmes termes que la multiplication par

du j du j

Si donc on admet que d'^u s'écrive comme

(du j du j \"

on peut en conclure que rf**"^* u s'écrira comme

(du , du J \"+'

163. La même règle s'applique aux différentielles d'une fonction d'un nombre quelconque de variables: si l'on a

on trouve, absolument de la même manière,

jn (du J du J du J du J Y

la puissance étant entendue symboliquement comme dans l'exemple précédent.

164. Si une fonction dépend de plusieurs variables qui soient elles-mêmes des fonctions connues d'autres variables considérées comme indépendantes, on doit remarquer que les formules précédentes ne s'y appliquent pas. Soit, par exemple,

p Qi q étant des fonctions connues des deux variables x ei y\ on a

j du j du .

(,, du=^dp^j^dq.

Car lorsqu'il s'agit de différentielles premières, peu importe le choix des variables indépendantes, et rien (138) ne les distingue essentiellement des autres. On peut donc supposer que p et q remplacent a? etj. Mais si l'on veut calculer d^u, il ne faut pas oublier que l'on désigne ainsi la différentielle de du^ lorsqu'on attribue, de nouveau, a a? et k jdes accroissements infiniment petits égaux à ceux qu'ils ont déjà reçus. A ces accroissements égaux, correspondront, en général, des accroissements inégaux de p et de q, en sorte que, en différentiant l'expression ( i ) pour former d^u, dpQi dqne devront pas être regardés comme constants, on aura donc

j. d^u j , rf'a , , d^u j ^ du j^ du .^

et en continuant ainsi Ton est conduit à des formules compliquées et rarement utiles.

Déris^ées d ordre supérieur des fondions implicites.

165. Les considérations précédentes permettent de calculer les dérivées d'ordre supérieur des fonctions implicites de plusieurs variables; la méthode la plus simple consiste souvent à former la différentielle totale de la fonction dont on veut avoir les dérivées partielles, et ces dérivées sont les coefficients des diverses puissances des différentielles de variables indépendantes, divisés respectivement par les facteurs numériques connus.

Il suffira de développer cette méthode sur un exemple. Soient

Z =<p [Xy a),

d^ Z d^z d^ z On propose de déduire, de ces équations, ^> n — y-» ^,- Pour y parvenir, nous

calculerons rf^ z , en supposant dx et ^ constants, et quand nous l'aurons obtenu sous la forme

d^z = \dx' -h^Bdxdx-hCdy',

nous aurons

— —4 JlL =B — = C dx^ ^ dx dy ' dy^ "^

Les équations proposées donnent, en remarquant que d^x et d^y sont nuls, mais que rf'« ne Test pas,

dz =^ -^ dx -^ -r- doL y ax a a.

dx^ dxdoL da} da.

d^^-o=pLdx^ + 24Xdxd.-^pd.^+^d^..

' dx^ dxda da^ da

Éliminant entre ces équations rfa et rf^a, on obtiendra, pour rf^s, une expression de la forme demandée, et le problème sera résolu. On trouve ainsi

dj^ /d^\' r^N; d'^ d^ T

d^z^^d'f d^f dx d^l ^\ <^?\ dx^ dxda, d^ da} / d^y 1

d^'~'d^''^^d7Tudj^'^d^\ rfji I "^rfïl c/+ "^^ fd^ydi'^ (d^y \di) Y

da \da/ l,da \li) \da) J

d'ff d^

d'z da} rfj rfg'

ly^ ~" /^\' ~ àa (d^y ' \da) \da)

d^z rf'(j> dx d<f dxda dfd^'^ dx

d^'^'^J^'TW\^~^dl(d^\ '^Ta'dl' /d^y

\da) \da) [d^J

La même méthode permettrait de calculer les dérivées d'ordre plus élevé, mais les résultats deviennent de plus en plus compliqués.

166. On peut aussi chercher les dérivées de z successivement et en les déduisant les unes des autres. On a en effet, en différentiant les deux équations données par rapport à a?, et traitant j comme une constante,

dz df dff da

dx'~ ^ dx dadx^

d^ d^ da dx da dx

et, par rélimination de -^ >

dz rff d^ d OL

Les mêmes équations, différentiées par rapport à j, donnent

dz dff da.

djr ^ da dy

rfr|/ da

da dy

et Ton en déduit

dz da . .

p et q étant des fonctions connues de x et de a, il suffira de remplacer successivement dans ces formules la fonction <p par 9<, puis par 9^, pour obtenir

^ » ^ > ^ et T? î c'est-à-dire les secondes dérivées de z. On trouve ainsi

dx-

dfi ~ dx

df,

di/ da -lidy da

Ty-

dl-

dy-

- d^' da

df.

dq.

.df.

d'if da

Ibc-

~ dx

On remarquera que -^ et -^ représentent l'un et l'autre ,^' ; ils sont donc égaux,

ce qui établit une relation nécessaire entre les dérivées des fonctions 9, et 93. Si l'on voulait déduire de ces formules les résultats obtenus précédemment, il fau-

drait effectuer les différentiations par rapport hx et par rapport à a qui ne sont ici qu'indiquées sur les fonctions 9^ et qp j.

EXERCICES

1. Si, dans une fonction jr=<p [x], on donne à x des valeurs successives x, jc-hA,, :r-i-A, + A2, a:-f-A, -4-/12 + As, . .. , et que les valeurs correspondantes de x soient

/, 7«>Tï» • • • > 7« > le rapport . m , r- a pour limite la n^**' dérivée de 7, lorsque A,,

Al,. . . , A„ tendent en même temps vers zéro.

2. Si une fonction finie et continue de x s'annule pour les valeurs x = Xiy x=Xif. . ., X = Xnf que nous supposons rangées par ordre de grandeur, on a pour toute valeur de x comprise entre x, et Xn

ff[x) = {x—x,)(x — x,)...[x — Xn).., ,,a^3 ! . n'

(}>".(«) étant la valeur que prend la n'^' dérivée de la fonction (j>, pour une certaine valeur de X comprise entre jr, et Xn. On démontrera ce théorème en remarquant que l'équation

<p [x) — A [X Xt) [X Xî). . ,[X Xn) = O

admet, quel que soit A, les racines ^1, ^1, . . ., ^n, et si A est tel qu'elle admette en outre une ( n -+- 1 )""•• racine comprise entre Xt et x„, la /»'•'"• dérivée

doit s'annuler entre les mêmes limites.