II I

prenons f{n) = n\n^ on aura

<p(n)«,.= ji.

Ce produit tend vers zéro ; de plus on a

î(iL)jf.,(„ + 0 = (»+'HK/» + 0?(„^.),(„^,)^(n4-.)l(« + .).,/ .\ M«-H, l./i ' ^ \.n \ nj

On voit aisément que pour n infini, cette expression devient égale à l'unité, et par suite la série est convergente.

Séries dont les termes sont akernatwement positifs et négatifs.

246. Lorsque les termes d'une série ne sont pas tous positifs, il semble difficile de donner des règles générales qui permettent de décider de sa convergence. Nous nous bornerons a quelques remarq^ues fort simples, mais très-importantes.

Théorème I. — Lorsque les termes d'une série sont tels y quen substituant à chojcun deux un terme positif de même valeur absolue^ la série deçient cons^ergente^ elle lest également quels que soient les signes de ses termes et l'ordre dans lequel on les écrit.

On peut en effet considérer les termes positifs et les termes négatifs comme formant deux séries distinctes, convergentes toutes deux ; puisque la somme des uns et des autres pris avec le même signe reste, en effet, par hypothèse, au-dessous d'une certaine limite, il en est à fortiori de même de l'ane quelconque des deux qui forme, par suite, une série convergente.

Cela posé, si l'on prend dans la série un nombre de termes indéfiniment croissant, le nombre des termes positifs et celui des termes négatifs qui y figureront iront l'un et l'autre en augmentant sans limite, et la somme différera par conséquent de moins en moins de la différence des limites des deux séries dont nous avons parlé.

Cette conclusion est indépendante de l'ordre dans lequel les termes sont écrits, et il est par conséquent permis de choisir celui qu'on voudra, pourvu, bien entendu, que leurs valeurs absolues, prises avec le même signe, forment, comme on Ta supposé, une série convergente.

247. La réciproque du théorème précédent n'est pas exacte; une série peut être convergente, quoique la somme des valeurs absolues de ses termes soit infinie. Nous démontrerons seulement le théorème suivant :

Théorème II. — - Lorsque les termes dune série sont altematwement positif s et négatifs et qu'ils diminuent sans limite ^ chacun étant moindre que le précédent, la série est convergente.

Soit, en effet, la série à termes réels

a,— tt,-f tfj — «3-+-. . -h M« — «/„-H.-h. . .,

dont les termes alternativement positifs et négatifs diminuent sans limite. Arrêton&-nous successivement au terme m„, puis au terme m„+, et posons

Quelque loin que Ton prolonge la série au delà de Un et à quelque terme que Ton s'arrête, la somme sera plus grande que S„ et moindre que S„+,, ïîar la somme des termes ajoutés à S„ est de la forme

— (m„h.,— M„+0 — ("«H-i— Mm-i)— («»+s— W«+i)— . . .,

et est par conséquent négative.

La somme des termes ajoutés à S«+, est au contraire positive, car on peut les grouper comme il suit :

en sorte que la série prolongée autant qu'on le voudra est constamment comprise entre deux nombres S;, et S«+, dont la différence a„^, peut être aussi petite qu'on le désire. La convergence est par suite évidente.

248. Lorsque les termes d'une série pris en valeur absolue ne forment pas une série convergente, et que la convergence résulte par conséquent des signes qu'on leur attribue, il n'est pas permis de changer l'ordre dans lequel ils sont écrits, et l'on pourrait non-seulement altérer par là la valeur de la série, mais encore lui faire perdre sa convergence.

Dirichlet, qui a le premier appelé sur ce point l'attention des géomètres, en a donné l'exemple suivant :

Les séries

.1 6' ' qui sont composées des mêmes termes affectés des mêmes signes, n'ont pas cepen-

UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 25i

dant la même limite; on peut prouver facilement que la première étant représentée r S, la seconde < On a, en effet,

par S, la seconde est -S.

o III I I ^^ / I I \

an — I 2/1 ^lé \^n — i 9. ni

le signe \ s' étendant à toutes les valeurs entières de n. On a aussi, en nommant S' la seconde somme,

S'=i-h^ HfH 7+...+ 7 ^-h

et par suite

mais la somme S peut évidemment s'écrire

4^4/1 — 3 ^n~-2 ^n — I ^n' donc

s's=y (" ' ' r ' Wy ' L. = iy j — = is

et par suite, sans connaître la valeur de S, on est assuré que S' est égal à - S.

Séries imaginaires.

249. Lorsque les termes d'une série sont imaginaires, la convergence exige que les parties réelles et les coefficients de V— "> dans chaque terme, forment séparément des séries convergentes.

Il est bien souvent commode de mettre une expression imaginaire a-h b \/-- 1 sous la forme

picosif-^sZ—i sinep);

on démontre aisément que cela est toujours possible, en imposant même à /s la condition d'être positif. Ce coefficient, égal à yjà'^ -h b'\ se nomme le module de l'expression imaginaire dontTangle ç s'appelle V argument. Une série imaginaire

peut, par suite, s'écrire de la manière suivante :

p, (cosç.-h v^— I sin(p,)-+-pi(cos(p,-+- si — 1 sin«»j) -+-. . .-i-p« (cosy,-H- V^— • i sin«p„) -+-. . . ,

2o2 PREMÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit convergente est que les deux séries

p, coS(p,-|-pj coS(p,H- . -h p„ cos (?„-|- . . . , p, sinç, -hpï sinç,-t-- . .-hp» sinç„H-. . .,

soient convergentes toutes deux.

Cette condition sera remplie évidemment si la série

pi-f-pjH-. . .-|-p„-4-. . . ,

est elle-même convergente; car tous les termes de cette série étant positifs, toute série dont les termes sont respectivement moindres en valeur absolue, est nécessairement convergente en même temps qu'elle. La réciproque n'est pas exacte, >mais il est difficile de donner une règle générale de convergence. Nous nous bornerons à démontrer le théorème suivant, qui s'applique à une classe importante de séries imaginaires :

Si\ dans la série

(i) ' ao-\-a^x-\-a7X^-\-^ - '-hanX^-h

les coefficients a^^ a,,a2,..., an,,., diminuent et tendent vers zéro, de telle sorte que chdcun soit plus petit que le précédent, on peut affirmer que la série est convergente pour toute valeur de x dont le module est l'unité, en exceptant la seule valeur x = i pour laquelle il y a doute.

Représentons par P„ la somme des n -h i premiers termes de la série, et posons

(2) P„ = rt,-f-rt,jc-+-. ..-hflf^o:" , on en déduit,

( 3 ) { I — jt) P„ = rt. — anJf"^' -f- («1 — «0 ) ^ -f- (aj — fl, ) jf= -h. . .+ ( a„ — a^^x ) x^-

Si l'on donne a x une valeur dont le module soit l'unité, c'est-à-dire de la forme

cos tp -h >J — 1 sin <p ,

Unixf^^ tend vers zéro, lorsque n augmente sans limite, à cause du facteur a^,, et la série dont le terme général est

(4) («, — flr«,)^", est convergente; on a, en effet,

x" =i cosuff -4- v' — I sin n<f.

La partie réelle et la partie imaginaire de ce" sont donc Tune et l'autre inférieures

UVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 253

à runité en valeur absolue; un terme tel que (4) a donc la partie réeHe et le coefficient dev^— i dans la partie imaginaire moindres tous deux que a„ — <!«,. Or la série à termes négatifs dont le terme général est a„ — a«o

(a, — ao) + (rt, — û, )-h.. .-[-(«„ — a„,) -h...,

est évidemment convergente et a pour limite — aj,; il en est donc, à fortiori, de même des deux séries dont les termes sont moindres en valeur absolue. Le produit de P„ par ( i — a?) tend donc vers une limite déterminée, et, en excluant le cas où 57= I, il en est de même de P„. On peut énoncer la proposition précédente en disant que si les coefficients a^ , a, , . . . , a;, , vont en diminuant et tendent vers zéro, les séries

(5) «,-H-«i cosy-f-«i cos 2«p. . . -H««cos»ç -[-...,

(6) a, sin y-|-«aSin2y. . . -h rt„sin/iç + . . .,

sont convergentes pour toute valeur de l'angle 9, en exceptant toutefois, pour la première, l'hypothèse 9 = 0.

Si l'on suppose 9 =;r, la première de ces séries devient

«0 — fli -4- «j — ^3 + . . . , et l'on retrouve le théorème déjà démontré (246).

Transformation dEuler.

250. Une série étant donnée, on peut la transformer en une autre, soit par un nouveau mode de groupement des termes, soit au contraire par la décomposition de chaque terme en un nombre fini ou infini de parties, soit enfin par l'addition de termes nouveaux dont l'ensemble se détruit. L'une des transformations les plus célèbres est celle qu'Euler a proposée pour une série ordonnée suivant les puissances d'une variable.

Soit la série

(i) S = Wo-h Wi^-h Mj J?'-h. . -h Wn^-h- . ..

Posons

on aura

Mais on a ^225)

— j— = y—x' -hr' — r * -»-••• ±r " ^ • • • .

^__ = y:^ 2 j3 f- 3 j^ — 4j^ -H- . . . ±: /i^"'^' qp ■ . . ,

en remplaçant chaque terme de la série (3) par son développement et réunissant les coefficients de la même puissance de/, on a

S=M„-f-«. J-+-(«2 — tti)r'H-(«3 — 2«j-f-«i)r'-4-(w4 — 3tt3-i-3a,— «,)7<-|-.. . ,

ou, d'après les formules connues de la théorie des différences,

et comme l'équation ( a ) donne

I X ( I XY ( i JC )"

Si Ton suppose a:= — i , on a = -> la série S devient

S = //o — «I H- M, — «3 -t- «4 . . . , et sa transformée

S = «o «t-h 7 Aa, — 3 A* a, H — ^ A^tt, — . . ..

251 . La transformation précédente est remarquable et souvent utile, comme nous le montrerons, pour le calcul numérique des séries: mais, avant d'en faire une application, remarquons bien qu'elle ne serait plus légitime si l'une quelconque des séries considérées cessait d'être convergente. On comprend difficilement, par exemple, qu'on ait songé à l'appliquer aux séries

S=i — i-t-i — i-hi — i-i-..., S= 1—2 4-3 — 4 -h 5— 6 H-...,

et qu'on en ait conclu pour la première la valeur -9 et pour l'autre la valeur ^^

croyant justifier par Ik l'usage des séries

dans le cas où x est égal à l'unité et où elles cessent d'être convergentes. Il est utile cependant d'insister un peu sur ce point. La transformation d'une série divergente, lors même qu'elle donne naissance à une série convergente, doit être considérée comme insignifiante, à moins qu'une nouvelle démonstration ne vienne lui donner un sens; cette démonstration peut quelquefois être faite, parce que la série transformée et la série primitive étant démontrées égales lorsque toutes deux sont convergentes, fournissent deux développements de la même fonction. S'il arrive ensuite que l'une d'elles devienne divergente pour une certaine hypothèse, l'autre demeurant convergente représentera encore la fonction, justifiant en apparence ceux qui prétendraient que l'autre série la représente encore après être devenue divergente, et qui se trouveraient dans le vrai pour avoir commis la double erreur d'accepter une transformation qui n'est plus légitime et une série qui, étant divergente, ne représente plus rien.

Considérons, par exemple, la série

En posant elle devient

Ainsi qu'on s'en assure aisément, le calcul numérique des premiers termes fait apercevoir la loi, et l'on démontre (*) ensuite qu'en posant

^3 o3 f\t mH

(*) La proposition inverse, qui est équivalente, est plus facile encore à établir. Si l'on se donne les valeurs de A a, , A* «,,..., A" «,..., on aura, par une formule connue delà théorie des différences,

Or, en remplaçant w, et ses différences par les valeurs indiquées, le second membre devient

^^z~^~'^l TTÏXI ^*"'

c'est-à-dire —[77' car celte expression est précisément ce que devient ^-^ ~ — , quand

on y fait j: -= i .

256 PREmÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTfFÏ..

on a

en supposant a? = — i, on a j= > et la série

est par suite transformée en

Or, la première étant divergente et la seconde convergente, il n'y a pas entre elles d'égalité possible. Cependant la série (4) est, comme nous le verrons, celle qui représente /( i — aa?) dans laquelle on suppose j?== — i . Les partisans des séries divergentes doivent donc dire, elle est égale à \^; Or la série (5), qui est convergente,

peut s'obtenir en posant y = — - dans le développement de M — -^ ) > qui est alors

convergent, et elle représente effectivement /3. La transformation d'Euler conduit donc dans ce cas à ce résultat paradoxal, qu'une série divergente peut servir au calcul numérique de la fonction qu'elle devrait représenter si les formules étaient générales.

252. La manière dont nous avons obtenu la formule de transformation d'Euler ne fait nullement voir dans quels cas elle peut être avantageuse, et n'indique pas la limite de l'erreur commise lorsqu'on s'arrête à un terme déterminé de la série transformée. Nous allons revenir en conséquence sur cette formule importante, pour en donner une seconde démonstration qui n'ait pas les mêmes inconvénients.

Soit la série (i) S= M„— a, + Ui — «3-*- . •• H- w«— ■ w«+« -H Un+2-h' . .,

dans laquelle Mq, W|,...,m„, sont des nombres positifs décroissants. Soient S la limite de cette série, et s^ la somme de ses n premiers termes. Si l'on désigne, comme d'habitude, par Aw^ la différence i/„+, — u„, on pourra écrire la série sous les deux formes suivantes :

S = 5„ -h lin -+■ A M„^, -h AW„+, -h A W„^i -f- . . . ,

la somme S, étant égale à chacune de ces deux expressions, est égale à leur demisomme, et l'on a par conséquent

( 3 ) S = 5,, -f- - W« (A ff„ — A W,,^, H- Mln^: AM„+, -h . . . )■

Si les différences A i/;, , Au;,^,, Ai/;,^,, quisont toutes négatives, vont en diminuant en valeur absolue, ce qui à lieu dans un grand nombre de cas, la série placée entre parenthèses est de même nature que la proposée, et sa valeur complète est moindre que son premier terme, en sorte qu'en prenant

l'erreur commise est moindre que-Ai/„. Si l'on avait adopté la valeur

l'erreur commise eût été moindre que 2/^+4. àu„ étant négatif, on voit qu'il faut préférer la formule (4) à la formule (5) toutes les fois que

c'est-à-dire

Cette relation aura toujours lieu pour les séries peu convergentes, dont les termes décroissent lentement.

On a trouvé

(6) S = 5«4--«« (Att„-- A/i,^., -h Aa„H, . ).

Cette équation peut s'écrire

(7) S = 5«-f- -Un Aa,-t--(Aw„^., — Aa„+,-f-Aa„4.3- • -);

or, en vertu delà relation A^u„ = Am„+, — Aa^, les formules (6) et (7) peuvent s'écrire de la manière suivante :

(8) S = s,-^- u^^-(^'Un-^à'u„^,-i'à'u„^,-{'...),

(9) S=S,H- - Un AM, (A'M„^, -P A»M„^.3-h...),

et, en formant la demi-somme des deux expressions de S ,

S = 5„-h- U„ - i Aa„-f-7(A^«, — A»//„^, +A'M„^, — A=M„^3.. .).

Si les différences A'^ w„ , A' Un^i , A^ "«+2» • • • » sont de même signe et vont en décroissant, la série entre parenthèses sera de même nature que la proposée, et, en la négligeant tout entière, l'erreur commise sera moindre que son premier terme. On pourra donc prendre

L'erreur commise étant moindre que ^ A*a„, la formule

peut s'écrire

S = 5„ -H - M„ — 7 AW„ — 7 ( A»«„ + A»M„^., -h . . . )»

et de même l'équation (9) peut être mise sous la forme

S = 5, -h - M„ — 7 Aw„H-7A^M„-t-7(A'M„+, -hA^W.+,4-...),

et, en prenant la demi-somme de ces valeurs de S,

S = 5„-h- w„— ^ Aw„H-g A'M„— ^(A^Mi. — A' ««-4-1 4- A» «„+,-!-.. .)•

Si les différences A' a^, , A'* a„^., , . . . , sont de mêmes signes et décroissantes, la série entre parenthèses sera, comme les précédentes, plus petite que son premier terme, et en prenant

Terreur commise sera moindre que ^A^a„.

Le même raisonnement peut se répéter indéfiniment, et l'on peut écrire

Il ï I (—0''

s = 5„ -h - tt„ - 7 Att, -+. ;r A^e/„ j: A^W„ -h. . . — ' ^ bJ"' lU ,

24^ ID ip

l'erreur commise étant moindre que -^àPun^ pourvu que les valeurs absolues des

termes de la série aient leurs différences d'ordre inférieur à /? de mêmes signes et décroissantes.

Soient, par exemple,

on a dans ce cas

w» = - 9 Aa, = —, : » A'«„ =

n " /i.(/n-i) " n,[n-\-\) (« -hi)(n 4-2) /i.(n4-i)(/H-2)

(/i-hi)(/i + 2)(/n-3) /i.(/H-i)(/H-2) w.(/i4-i)(ai 4-2) (/i-h3) '

H (/i-hi)(/i-+-2)(n-f-3j(/H-4)(/i-h5j

Les conditions admises dans la démonstration précédente sont donc remplies; en faisant n = ï i , on trouve

2 3456789 lO

II 11.12 II . 12. l3 II . 12. l3. 14

ii.i2.i3 i4*i5 11 . 12. i3. i4- 15. 16

et la formule

§ = *«-♦-- «/„— 7 Att,H-^ A»tt„ ^ A3M„-h ^ A*/i« — ^ A*«„

donne

c'est-à-dire 8 = 0,6931473

La série représente, comme on le verra, le logarithme népérien de 2, et les sept décimales sont exactes.

Méthode de Stirling.

253. Nous devons citer encore la méthode proposée par Stirling en 1717 pour la sommation des séries, et qui consiste à transformer chaque terme de la série proposée en une série indéfinie de telle forme que les termes correspondants des séries successives puissent être facilement sommés. Il arrive souvent que par cet artifice une série est transformée en une autre qui converge bien plus rapidement et dont le calcul numérique est par suite beaucoup plus facile.

Les séries auxquelles Stirling cherche à ramener toutes les autres sont les suivantes (222):

Z ij(3-M)^(34-,)(2-h2)^'*''

3 Z.(2+l)(z-+-2) 2.(z4-l)(2-f-2)(2-{-3)'^(2-M)(z-t-2)(iî-4-3)(2-f-4)^

Il réussit dans un grand nonibre de cas a atteindre ce but, sans faire connaître toutefois de règle générale qui puisse y conduire.

La formule suivante est une des plus remarquables et la seule que nous citerons :

z^-\-nz z {z-^i) z.(zH-i)(z -+-2) z.[z-\-\)[Z'^7,){Z'\-'6)

(3 — yi)(2 — /i)(i — w)

la série qui forme le second membre étant indéfinie quand n n*est pas entier. La démonstration est d'ailleurs bien facile; en retranchant du premier membre le premier terme du second, puis la somme des deux premiers, celle des trois premiers, on obtient successivement :

z,{Z'\-n) z.{z-\-i) z.{Z'\-i)[z-^ nY

" z.{z-\-i)[z-\-7.)[z-Jt-^){z^ny

et, par suite, Terreur commise en arrêtant la somme au terme de rang p^ est

et cette erreur tend vers zéro (242), pourvu que 2 + w soit positif.