II I II

Z^ [Z-^lY (^-f-2)» " Z 22.(2-+-lJ 3.Z.(Z-+-l)(2-H2)

Si Ton suppose js = 12, la série qui forme le second membre est très-convergente, et la somme de ses i4 premiers termes donne 0,079967427; les 1 1 premiers termes de la série proposée ont d'ailleurs pour somme i,558o3 223479, ^^ '^ somme totale est, par suite, avec une grande approximation,

Nous verrons plus tard que cette somme est ^•

Nous reviendrons dans un autre chapitre sur les développements analogues à ceux sur lesquels Stirling fait reposer sa méthode.

Métlwde de M. Kummer.

255. Il existe une méthode due à M. Kummer, et fort utile souvent pour calculer avec une grande approximation et trës-rapidement la limite de la somme des termes d'une série peu convergente a termes positifs.

Soit la série convergente

partageons-la en deux parties :

S„ étant la somme d'un nombre limité de termes, on le calculera directement. Quant au reste R, nous devons nous borner à avoir sa valeur approchée.

Pour obtenir cette valeur, on détermine deux fonctions du nombre n, (f[n) et /(n), assujetties aux conditions suivantes :

i^ Le produit ç (n) u^ tend vers zéro lorsque n augmente;

2^ /{n) s'approche indéfiniment de l'unité lorsque n augmente;

'5^ Il existe entre les fonctions ç et/ la relation

qui a lieu pour toutes les valeurs de n.

Faisons voir d'abord que, ces conditions étant supposées remplies, on peut en déduire une valeur approchée de R : on aura, en changeant dans l'équation (i) n en

n -h I, n -h 2, /i -h 3,..., et chassant les dénominateurs,

/(«)«;,+ , = (p ( /l )«„ — <ï> ( /l-f- I ) Un^i ,

/( n -f- 1 ) w^, = «p ( /i -h I ) «.+ 1 — Y ( /t -f- 2 ) W«+î , /(n -h 2) a;,^.a = <p( /i -H 2) «„H., — (p( n -h 3 ) Un+:, ,

'f(n-\- k) Un^-k+i = ff{n-^k) M„+i — <p( /H- fr -+- 1 ) w,+*+,,

En ajoutant toutes ces équations, on a

(2) f{n)u,^^,-hf{n'{'i)Ur^,-hf{n-\-2)Un^^-\ -h/(« + /r)a,+*+,. . .= y(/i) w,.

Or f[n),f[n -t- i), /(n -f- 2),..., différant par hypothèse fort peu de l'unité, le premier membre diffère fort peu de R, dont la valeur approchée est par conséquent

On peut même remarquer que la formule (2) donne en général deux limites très-rapprochées entre lesquelles est compris le reste R. En effet, de Téquation

(p(/i)a„ = /(/i)a„+,-t-/(/i-|-i)«„+,-fT. . . on déduit

Or les fonctions /(/i),/(/n- i),/(/n- 2),..., tendant vers l'unité, il arrivera en général qu'elles seront toutes plus grandes que l'unité et décroissantes, ou toutes moindres que l'unité et croissantes. Dans le premier cas, les fractions qui multiplient w„+j, W;,+2»--t sont plus grandes que l'unité dans l'équation (2), et moindres que l'unité dans l'équation (3) : on a donc

Dans le second cas, /(/i), /(/i -h 1),..., étant moindres que l'unité, on aura, au contraire,

fin,

et par conséquent R est compris dans les deux cas entre deux limites connues, qui sont très-rapprochées, puisque /(/i) diffère peu de l'unité.

Toute la difficulté se réduit donc à la détermination des fonctions 9 et /, et il est clair que les conditions qui leur sont imposées laissent subsister une grande indétermination.

Choisissons pour 9 (n) une fonction algébrique de la forme

La fonction, développée, par la division, suivant les puissances descendantes de n, donnera pour <p(n) une série de la forme

Regardons c, c', c",..., comme connus, l'équation (4) fera connaître /(/ij : on a, en effet,

(5) , f(n) = ff{n)-^-^{n-\-i).

Supposons que le rapport -^ soit exprimé par une série de la forme

6 :î =3: iH ^. -+- -f-. . . .

On aura, en changeant n en n + i dans (4)»

(p(wH-i) = c(n-|-i)-+-c'-f-

n-f-i (wH-i)^ («H-O' ('i-l-'!

mais on a (225)

/iH-i n\ n n} n} '-y'

et, par suite,

264 PRExMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En ayant égard aux équations (4), (6) et (7), la formule (5) devient

f(n) =r:(ô'— i)-h - [c'Ô'-|-ce'MH-~[c"(Ô'-|-i)-l-c'e''-f-or]

-h -3 [r'76'-t- 2) -h c"( G''— i)-f- e'e^-+- CÔ«^)]

-h-Jc»*(G'-f-3)-|-r*'(G"— 3)4-c''(Ô'"-+-i)+c'Ô'^-hcô^]

-h-Jc^(G'-f-4)-|-c'^(G"— 6)-^c"'(G"'-H-4)+c"(6" — i)H-c'G^-hc'G^«]

H--^[c^'(G'+5)+c^(G*'-~io)H-c'^(G'''-i-io)-ht-'''(G»^~5)H-c''(0^+i)H-c^^^

-h c'" ( G^-H 6 ) 4- 6'" ( G^' + I ) -K c' G^" -+- cG^"« ] l>lre'^ii.(ô'-l^)l-e^«i(r 2,)4-c^.(0*'-l 35)-l c^(e'^— 35) l c-'^(G^-t-ai)-f-e"'(G^' — 7)-4-e''(G^"-|-i)H-c'0^'"H-oG'»]

Or, pour une valeur infinie de /i, on doit avoir/(/i) = 1 ; il faut donc que le terme constant de la valeur àef(n) soit égal à -h i, et par suite

de plus, comme on connaît S, 6\ 9",..., puisque le rapport — ^ est connu en fonction de n, on pourra déterminer c, c\ c",..., de manière a faire évanouir le plus de termes possible de l'expression /(/i), afin que la différence f[n) — \ soit aussi petite que possible. Ayant déterminé de cette manière 2/1 -f- 1 coefficients de la série

c" c'" r" n n} «' on formera la fraction

a' rif-^ -I- a" nF-^ 4- g!" nf-^ -h . . . -t- n^f^

dont le développement en série donnera l'expression (4); il suffira, pour cela, d'égaler les deux expressions et d'identifier les deux membres de l'équation après avoir chassé le dénominateur et égalé à zéro les coefficients des puissances négatives de n dans le second membre, en nombre assez grjmd pour déterminer é", //",..., bP.

256. Appliquons la méthode précédente à un exemple. Soit la série

on a

I Un {n-hiy 464

Par conséquent

Nous formerons d'abord la série

^(/i. =cw -i-6-'-H — -t--- -4- — -h ..;

r, c\ c',..., seront donnés par les équations

o = 3c — 1, On en déduit ^' = 0

0= loc'" — 9c" — i4c'' — c'', C" =0,

et

0=^ I ic""-h 39c^' H- 21 c"^-c", f/*"'= —

O = ît^lC"' 22 c""*' 69c" 28c" c" y C = o,

Déterminons actuellement la fraction

3 2 /i«-f-^"w»-hfe'

qui, réduite en série par la division, donne les premiers termes que nous venons d'écrire. On trouve par la méthode des coefficients indéterminés

, , n I ioTû'\- 7.ZH

Si Ton pose n = lo, on a par calcul direct

d'ailleurs

î-^- = o ,0002866502 1 734 1 Q ; 10* i ^ xj

donc la somme de la série est approximativement

S = 1 ,08282 82337 1 1 098 4- En calculant 9(1 1), on trouve

.p(ii) = 3, 19684 58325 175;

donc

^(io) = ç(io)— — ç ( il )= I — 0,0000000004 i47»

2/ii

et la seconde limite, qui comprend entre elle et S la valeur de la série, sera

— ~rr r = 1 ,08282 82337 1 I 2 I 7 3 ;

la moyenne arithmétique entre ces deux nombres est

Nous verrons plus tard que la série considérée est égale à — ^ or on a