I.TT

I.7r'= 1,9885994907 7653541741, ir' = 97 ,40909 io34o 02437 233,

et

en sorte que la valeur trouvée a i3 chiffres exacts.

257. On peut se demander combien il faudrait calculer de termes pour avoir une approximation aussi grande. Soit x le nombre des termes, le reste négligé en

prenant x termes doit être moindre que ^- Or l'erreur est approximativement

'^-^, et l'on trouve que cette fraction ne devient inférieure à -— ; que pour

une valeur de a: supérieure à 255oo.

Nous avons donc obtenu avec dix termes un résultat qui en exigerait 2 55(>o par calcul direct.

Séries ordonnées suivant les puissances d'une variable.

258. On fait un fréquent usage de séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une lettre qui reste indéterminée. Soit

(A) a„-t- «,x -f- rt,x'-(-. . .^- ff..r"-f-- ■ .

une telle série.

L'étude de la convergence des séries de cette forme conduit au théorème suivant, (jui est remarquable et important :

Si dans la série [k] les coefficients a^, a, .... a„ sont des constantes données et x une variable pouvant recevoir toutes les valeurs réelles ou imaginaires, la série étant convergente pour une valeur x = a; , de la variable, F est à fortiori pour toute valeur de X dont le module est inférieur à celui de .r, .

La série étant, en eflet, convergente pour x = x^, cela exige évidemment que le terme de rang n

tende vers zéro lorsque n augmente. D'après cela, soit M le plus grand module des termes de la série

(i) a„-h.a,x,-ha,x] -h. ■ . + a„x"-h. . . .

Si l'on substitue à x une valeur nouvelle x^, la série deviendra

que l'on peut écrire

Soit r \t>. module du rapport—» les termes de la série (3) ont respectivement des modules moindres que ceux de la série à termes positifs

M-f-Mr-)-Mr'-4-Mr'-f-. . .-I-M/--+-. ..,

qui évidemment est convergente; car c'est une progression décroissante. La série (3) est donc à fortiori convergente.

L;i tiémonstration précédente, sans qu'il y ait rien à y changer, prouve le théori'iiic suivant :

sV fioiir iinr rnh-iir x = x, delà lettre ordoiinalrice les termes de la série

rt, -f- fl.x 4-rt,Jr'-H. .-(- rt,j:"-|-. ■ ■

ont des modules inférieurs à un nombre fixe M, pour toute valeur de x dont le module

est moindre que celui de x, , la série est convergente.

259. Si une série ordonnée suivant les puissances de x est divergente pour une valeur x, de la variable x, elle est à fortiori divergente lorsqu'on donne à x une valeur x^ de module supérieur à celui de Xf.

Si, en effet, pour x = x^h série était convergente, elle le serait (258) pour la. valeur x = x, dont le module est moindre.

Ainsi donc les valeurs de x qui rendent convergente une série de la forme considérée sont toujours celles dont le module est inférieur à une certaine limite.

Si l'on considère, par exemple, la série

(i) J-^X-JrX'-\-x'-+-...-{-x"-{-.. .,

elle est convergente pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à l'unité et divergente pour celles dont le module est plus grand que l'unité.

En général, il y a doute pour les valeurs de x dont le module est précisément égal à la limite. Dans le cas de la progression (i), si l'on donne à x une valeur dont le module soit l'unité

x = ces <f -h s/ — I sin !f, la série devient

I + coS(j)4-cos2(f + ces 3!i)+...-i- cosMtp+...+ y/ — i (siii^-f-siii if-\-. . .+ sinrtç + . . . );

elle n'est pas convergente, car les termes de la partie réelle et ceux de la partie imaginaire ne tendent pas vers zéro avec n.

260. Un grand nombre de théorèmes relatifs aux expressions imaginaires s'expriment ou se démontrent avec plus de simplicité ou d'élégance à l'aide d'un mode de

représentation dont nous ferons un fréquent usage. L'expression «h- èy' — i est considérée comme correspondant à un point qui a sur un plan, par rapport à des axes de coordonnées rectangulaires, les coordonnées a et b. La distance de ce point à l'origine est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle qu'elle forme avec l'axe des x est l'argument.

La somme de deux expressions imaginaires correspondant respectivement aux points BetC est évidemment représentée par l'extrémité d'une droite menée par l'un des points, parallèle et égale au rayon vecteur qui réunit l'autre à l'origine des coordonnées. La seule inspection de la figure permet d'en conclure que le module de la somme de deux expressions imaginaires est moindre que la somme des modules, et ce théorème s'étend par suite évidemment à un nombre quelconque d'expressions imaginaires.

261. Une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable a- est, d'après le paragraphe 259, convergente pour les valeurs de x qui correspondent aux points intérieurs à un certain cercle décrit de l'origine comme centre. Ce cercle se nomme cercle de convergence : son rayon peut être nul, et la série n'est alors jamais convergente; il peut arriver aussi qu'il soit infini, et la série n'est jamais divergente.