La série
( I ) fla 4- «i ^ -I- «2 ^' H- . . . H- ^/« X" -r . . .
a le même cercle de convergence que la série
lournie par les dérivées de ses termes.
Soit en effet R le rayon du cercle de convergence. Là série ( i ) est par hypothèse divergente pour toute valeur de x dont le module surpasse R, et l'on sait (259) que pour de telles valeurs les modules de ses termes croissent indéfiniment. Si donc nous attribuons à x une valeur dont le module js, surpasse R, A„ étant le moduh' de a„, le terme a„cif aura pour module
(jui, d'après ce qu'on a supposé, augmente sans limite avec n. Le terme corres- |)ondant de la série (a) a pour module
t!t il est évident que - augmentant lui-même indéfiniment, ce nouveau module est
infini avec n, comme le précédent. La série (2) est donc divergente pour les valeurs de X qui correspondent à des points situés en dehors du cercle de convergence (le la premK re.
Attribuons en second lieu\ la variable x une valeur dont le module p, soit inférieur à |{, le module du terme a„ x" sera
••I la série dont ce module est le terme général est convergente et a tous ses termes positifs.
Le module du terme correspondant de la série (a) est
'iÊ
Or la série dont le terme général est n ( ^rM est évidemmeni convergente, car le rapport d'un terme au précédent a pour limite la fraction ^^ moindre que l'unité, et le facteur A„R""' par lequel il faut multiplier « ( Ît ) pour obtenir l'expression (4), n'augmente pas indéfiniment. 11 est clair, d'après cela, que la série dont le terme général est nA„/5r" est convergente, et par conséquent la série (i) est convergente pour toutes les valeurs de la variable qui correspondent à des points intérieurs au cercle de convergence de la série (i).
Continuité des séries.
263. Lorsque les termes d'une série sont des fonctions continues d'une variable a:, il semble évident au premier abord que la série, lorsqu'elle reste convergente, est elle-même une fonction continue de x, et cependant cette assertion ne serait pas toujours exacte. Si les termes d'une série convergente
sont, en effet, fonctions continues de œ, il est clair que, x variant infiniment peu, chaque terme variera infiniment peu; mais en est-il de même de la somme? Comme elle se compose d'un nombre infini de termes, on n'est pas en droit de l'affirmer.
Considérons, par exemple, la série
tant que x est moindre que l'unité, cette série est convergente. On peut l'écrire
et elle a évidemment pour somme
Si donc X s'approche de l'unité, la série (i), toujours convergente, acquiert des valeurs de plus en plus grandes; or, pour a; = i, cette série est convergente encore et a pour somme zéro, puisque tous ses termes deviennent nuls.
Cet exemple, auquel nous aurons occasion d'en ajouter un grand nombre d'autres, montre quelles précautions on doit apporter dans les raisonnements relatifs aux séries.
2()i. Il est facile de démontrer le théorème suivant :
fMrsqu'nne série
(/ont tous les termes sont réels et fonctions d'une même variable x, est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites x, et x^, et devient discontinue pour une valeur particulière x = a, de telle sorte que pour x = a — s et X = a -h c la différence des valeurs qu'elle acquiert reste finie quand s est infiniment petit, la série des dérivées
du, dx
du, dx
du,, dx
est divergente pour x =:^ a.
Si l'on considère, en effet, l'équation
y est déterminé pour chaque valeur de x, et, puisqu'il y a discontinuité pour x =^a, la courbe dont les points ont x pour abscisse et/ pour ordonnée se compose de deux
branches distinctes, telles que AP et QB. Si l'on prend // termes seulement dans le second membre, la courbe dont les points ont jjour ordonnées la somme de ces n termes représentera nécessairement une ligne continue qui, par sa nature, n'est coupée qu'en un point par chaque parallèle à l'axe des j. Or une telle ligne ne peut avoir pour limite la courbe composée des deux arcs AP et QB sans s'approcher en même temps de la ligne droite PQ qui les réunit; le coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire
du, du, du,,
dx dx dx
doit donc devenir infini pour x =^ a.
265. La remarque précédente, faite explicitement pour la première fois par .M. Duhamel, permet de démontrer simplement un théorème du à .\bel, auquel les progrès de la science ont donne une importance capitale.
Une série de la forme
est continue pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence. Posons, en effet,
(i) x = p(cosif+v/ — I sinçj,
la série devient ^
«o+«i p (cosç-f- \l — I s\n<^)-\- Uif- (cos2ç + y' — I sin 2ç )-!-.. .
+ fl„p"(cos/i()) + v' — r sin «ç) -t-, . . .
Cette série est convergente pour toutes les valeurs de p inférieures au rayon R du cercle de convergence. On peut' considérer ses ternies, soit comme fonctions de la variable p, soit comme fonctions de la variable 9, et, en appliquant le théorème précédent, on verra que la somme est une fonction continue dep, tant que la série
a, (cosç-f- v* — I sin<j>) + ?.a,p(cos2(p + sj — i sina^) +.. .
+ «a„p"~' (cos«tp-t- v^ — tsin«ç)+...
ne devient pas infinie, mais cette série ne diffère de celle que forment pour la mènie valeur de x les dérivées des termes de (i), que par le facteur ^cosçj -+- v/— I sinç); elle est donc convergente (262) pour les valeurs correspondantes aux points intérieurs au cercle de convergence de (i).
La somme de (2) est de même fonction continue de çj, tant que la série
a, p( — sincp + v^ — 1 cosç) + sa, p'( — si n 20» -1- y' — 1 ces 29) -H. . .
+ «a„p"( — sin ni) -\- y/ — 1 cos n^p) +. . .
m^ reste convergente; mais chaque terme de la série (4) est égal au terme corres-
jH pondant de la série (3) multiplié par p \/— 1; elles sont donc convergentes en
l(P même temps, et la série (1) est fonction continue des deux variables p et 9 pour les
' valeurs de x qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence.
266. Lorsque les ternies d'une série convergente sont fonctions d'une variable x, et que leurs dérivées forment elles-mêmes une série convergente, la fonction représentée par la série est, d'après ce qu'on vient de dire, fonction continue de la variable; mais il ne faut pas affirmer que toutes les fois qu'une fonction est développée en série convergente, les dérivées de ses termes par rapport à la variable dont ils dépendent forment le développement en série de la dérivée de cette fonction.
Soit, par exemple, la série
COHX ■
a, cos 2 X cos 3 X cos 4 X
qui évidemment est convergente pour toute valeur réelle de x; si la proposition énoncée était exacte, non-seulement les dérivées de ses termes, mais les secondes, les troisièmes dérivées, formeraient des séries convergentes représentant les dérivées successives de la fonction représentée par la série proposée. Or les secondes dérivées forment la série
— ces j? — ces 7.x — ros3x — . . . — coswx,
qui évidemment n'est pas convergente, puisque ses termes ne tendent pas vers zéro.
267. La remarque précédente montre clairement que le théorème suivant, quoiqu'il soit exact, ne peut être admis sans démonstration.
Si une série ordonnée suivant les puissances d'une variable x est convergente, et par conséquent continue pour les valeurs de cette variable dont le module est inférieur à un nombre donné R, les dérivées de ses termes forment pour les mêmes valeurs de la variable une série convergente dont la somme est la dérivée de la première.
La première partie de ee théorème résulte de ce qui précède. Bornons-nous donc à prouver que la série
(i) a,-^- a,x-\- (iiX^'-h. . .-ha„x"-^. . . %
étant convergente pour les valeurs de x dont le module est moindre que R, elle a pour dérivée la série
«I -I- idjX -f- . . . -t- nn, X"-' -t- . . . ,
qui, comme on l'a vu (262), est elle-même convergente.
Désignons, en effet, par ^(a;) la série (i), on aura, en y remplaçant x par x-^ /i, et supposant h tellement choisi, que le module de {x -h h) soit moindre que R, cl que par conséquent la série reste convergente,
[t] ^{x -hh)= a,-ha,{x-^h] -h a,{x -h fi)' + ■ ■ --h a„{x -+- /()"-{-
Réunissons dans le second membre de cette équation tous les termes aflèctés d'une même puissance de h ; il prendra la forme
(3) P,A ■+- PJi'-h P,/j»-f-. . .H-P,//" -t-. . .
chacun des coefficients P,. P, P„,- . étant une série bien facile à former. P,,
par exemple, représente
a,-^ia,x -h 3«,x" -H . -^ nii^.r" ' -\-. . .,
c'est-à-dire la série formée par les dérivées des termes de ( i). V-i est la »eri<- lormee L 35
27 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
par les secondes dérivées des mêmes termes, respectivement divisées par 2. P, est celle des troisièmes dérivées divisées par 1.2. 3, et ainsi de suite. Toutes ces séries sont convergentes (262) ; mais il n'en faut pas moins démontrer qu'en changeant l'ordre des termes on n'a pas altéré la limite de leur somme, et que la série (3) représente (p{x -\- h). Pour cela, considérons la somme des n premiers termes de la série (3), et retranchons-en la somme des n premiers termes du développement de f{x + h) : la différence A est une série composée de tous les termes provenant des puissances de [x -+■ h) supérieures à la n'*'"*, et qu'il a fallu faire entrer dans les n premiers termes de la série (3). Or je dis que la somme de ces termes a pour limite zéro. Supposons en effet que, dans la série (2) on remplace à la fois a;, h, et les coefficients a^, a,,..., a„,... par leurs modules X, H, A^, A,.. , A„. La série restera convergente pourvu que X-hH, moindre (260) que le module dcx-i- h, soit inférieur à R. Mais, après ces diverses substitutions, on peut ordonner suivant les puissances de H, sans crainte d'altérer la somme de la série, car tous les termes que l'on intervertit sont essentiellement positifs. La différence entre la somme des n premiers termes dans les séries qui remplacent ainsi (2) et (3) aura donc pour limite zéro. Or cette différence est la somme des modules des termes qui composent la différence entre les n premiers termes de (2) et les n premiers termes de (3); cette différence tend donc à fortiori vers zéro, puisque le module d'une somme est moindre (260) que la somme des modules; la série (3) représente donc (p(a7 + A), et l'on a,
fix -\- h) — <f{x) = V,/i +VJi'-h. . .-hPnh"^
Cette série étant convergente pour de petites valeurs de h, est (265) une fonction continue de cette variable, et l'on a
''é :^"'^^';-^'"'=i>,+iv.+...+p„A-^..
h en passant à la limite, h tendant vers zéro,
o'( .r ) = P, =: a, + 2 a-j J7 + . . . -j- rtrt„ x"-' -{-..., comme on voulait le prouver.
