D'après la démonstration précédente, si la série

est convergente pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à R, et que l'on en représente la somme par '^ [ce), en donnant à a; un accroissement h tel.

que le module de x -\- h soit aussi moindre que R, on peut développer ^(a: + h) en série ordonnée suivant les puissances do h et écrire

P,, Pj P„,--. étant les fonctions de x définies dans la démonstration précédente. De ce théorème on peut déduire le suivant, qui est important.

Si deux séries, ordonnées toutes deux suivant les puissances ascendantes d'une même variable x, sont égales pour toutes les valeurs de x dont les modules sont compris entre deux limites données p, et p^, ces deux séries sont composées des inêmes termes et identiquement égales, par conséquent, pour toutes les valeurs de X.

Supposons d'abord que l'un des modules donnés, p, par exemple, soit égal à zéro. Les séries

«,-l-a, ^-f-rt, x'-f-. . .4-a„a?"-|-. . ., lK-{-b,.r-hb,x'-h. ..-hl>,x"-h.. .,

étant égales pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à p^, si l'on fait X = o, elles doivent prendre même valeur. On a donc

Supprimons ce terme commun dans les deux séries, et divisons-les ensuite l'une et l'autre par x; nous obtiendrons deux séries nouvelles

a, -+- a, X -4- . . . -H a„ .r—' -h. . ., bt-i-b,x-h-..-hb„ x"-' -t- . . . ,

qui sont évidenmient convergentes et égales pour les valeurs de a? dont le module est moindre que pj, excepté toutefois peut-être pour le cas où x = o, car alors la division de tous les termes par x ne serait plus permise ; mais, quoique la démonstration soit en défaut, la conclusion ne peut l'ètPe, car les séries (a) étant fonctions continues de x ne peuvent être égales pour des valeurs aussi petites que l'on voudra de cette variable sans l'être aussi pour a- = o. On a donc

La même démonstration pourra être continuée indéfiniment et prouvera que les coefficients a,, a a„ sont respectivement égaux à b^, t, b„.

Supposons actuellement que les séries soient égales pour les valeurs de x dont le module est compris entre p, et /Sj.

Adoptons la convention indiquée (260), d'après laquelle chaque expression imaj^inaire est représentée par un point d'un plan. Les deux séries ont, par hypothèse, même somme lorsque la valeur de x correspond aux points compris entre deux circonférences concentriques de rayons p, et /s^. Soit x l'une quelconque de ces valeurs correspondant à un point M, compris entre les deux circonférences. Si l'on change xtwx + h dans les séries, elles resteront convergentes et pourront, comme on l'a dit, être mises sous la forme

pourvu que le module de aj + Z* ne dépasse pas la limite paî car on est sûr que, pour des valeurs du module qui remplissent cette condition, les deux séries restent convergentes. Les séries (3) étant équivalentes aux séries proposées, sont égales entre elles pour toutes les valeurs de h, telles que x -\- h corresponde à un point compris entre les deux cercles.

Ce résultat signifie que les séries (3) sont équivalentes aux proposées pour les valeurs de x correspondantes aux points du cercle décrit de M comme centre et tangent à la circonférence de rayon pj, et par suite égales entre elles pour tous les points de ce cercle situés dans la couronne comprise entre les deux circonférences. Mais, lorsque deux séries ordonnées suivant les puissances d'une lettre h, sont égales pour toutes les valeurs de h dont le module est inférieur à une certaine limite, elles sont identiques. Les séries (3), et par suite les séries proposées, sont donc égales pour les valeurs de x qui correspondent à l'intérieur du petit cercle dont le centre est en M. La manière dont ce cercle a été défini permet de disposer du centre et du rayon de manière à comprendre dans son intérieur un point quelconque d'une couronne comprise entre le cercle de rayon pj et le cercle de rayon p, — (p^ — p,) = spj— p,, et dont l'épaisseur, c'est-à-dire la différence des rayons des cercles limites, est double de la différence primitive p^— pi- Des considérations semblables prouveront l'égalité des deux séries pour les valeurs de x correspondantes à l'intérieur d'une couronne deux fois plus large encore, et il est clair qu'on arrivera ainsi à prouver qu'elle s'étend jusqu'au centre des circonférences données; et les séries, égales pour a; = o et pour les très-petites valeurs de cette variable, sont par conséquent identiques.

Multiplication de deux séries.

269. Nous expliquerons d'abord comment on peut multiplier deux séries convergentes à termes réels et positifs.

Soient les séries

(1) S = ««-f- M,-|- Mj-H. • .4- ««,

Je dis que la série

est convergente et a pour limite le produit SS'.

Soient, en effet, S„ et S'„ les sommes des n premiers termes des séries (1) et (2), et SI' celle des n premiers termes de la série (3). Si m est le plus grand nombre

entier contenu dans > le produit

est évidemment compris entre

qui comprend tous les mêmes termes et d'autres avec, et

( H„-h «, + . . . M„ ) ( fa-f- 4', -+- . . . -H ('„ ),

dont tous les termes au contraire sont compris parmi ceux de (3), on a donc, puisque par hypothèse tous les termes sont positifs,

Or si n croit indéfiniment, il en est de même de m; par suite S„+, et S,„+, tendent vers S, S;^, et S^^, vers S', en sorte que S^, est compris entre deux produits qui tendent l'un et l'autre vers SS' : il a donc pour limite SS'.