Considérons actuellement deux séries quelconques

dont les termes soient positifs ou négatifs, réels ou imaginaires, mais tels, que leurs modules forment deux séries convergentes. Je dis que le ihéorème précédent leur est applicable.

Soient toujours S„ et S',, les sommes des n premiers termes des deux séries, et

Î78 PREMikRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

désignons en outre par S!!, la somme des n premiers termes de la série que l'on en déduit; on trouvera

S„ s;, — S" = «„, t',,-1 4- ( M„-l f„l + U„-1 Vn-.f) +

De plus le théorème étant démontré lorsque tous les termes sont réels et positifs, dans cette hypothèse la différence S„ S^— S°„, et par suite la somme

( 3 ) «„-. <'« -I + ( U„-^ Vn-1 -+- lln-1 t',,-1 )+•••,

converge vers zéro.

Désignons actuellement par p, p,,p2' p'» p'i. p'^,---, les modules des différents termes des séries (i) et (a). Les séries formées par ces modules étant par hypothèse convergentes, il résulte de ce qui précède que la somme

(4) p"-'K,-. + (P"-'p1-= + P"-=pL,) + -- •

converge vers zéro pour des valeurs croissantes de n, et comme cette somme est supérieure au module de l'expression (3), ce dernier module, et par suite la différence S„ S'„ — S'^, converge aussi vers zéro.

271. Le théorème précédent suppose non-seulement que les séries proposées soient convergentes, mais encore que les modules des différents termes forment des séries convergentes. On peut montrer par un exemple que s'il en est autrement, la proposition est quelquefois en défaut.

Considérons les deux séries égales et convergentes

et formons leur produit, qui est le carré de l'une d'elles, en nous conformant à la règle donnée, nous aurons

[sT^'^^iJ^Wi

. iï v/a V^ v'3 / V V'4 v'S s/a s/' V^ ^4

Or cette série est divergente, car le terme général

\V« V2(« — i) v3(« — 2) \'nj

est supérieur à n fois le plus petit de ses termes, c'est-à-dire à

-i // est pair, et à

in

si n est impair. Le terme est donc toujours supérieur à l'unité, et la série n'est pas convergente.

EXERCICES