THÉORÈME DE TAYLOR

Démonstration de Taylor.

272. Le théorème de Taylor permet de développer une fonction quelconque d'une variable en série ordonnée suivant les puissances de cette variable ou de l'accroissement qu'on lui attribue à partir d'une valeur arbitrairement fixée. La généralité de la formule est restreinte, il est vrai, par des conditions de convergence qui sont indispensables et que cependant les géomètres n'ont étudiées que longtemps après la découverte du théorème. Cette condition essentielle, à laquelle Taylor n'avait aucun égard, rend inacceptable pour nous la démonstration qui l'a conduit à sa mémorable découverte, et que nous commencerons cependant par faire connaître.

Soit f{x) une fonction de la variable x; changeons-y successivement x en X -^ Ax, X -i- zAx, x-h 'iAx,...j^x -\- nù^x, et considérons la suite

«que nous écrirons, pour abréger.

Posons, comme nous l'avons fait (134),

j,— j = aj, j, — j, =:Aj„..., 7„— j„, = A^r,,, >

A= j, — ^'y — A' y, &\r^ — A' j, = A' j, , . . . , i^yn-i — A' j„3 = A\n, ,

y„ peut s'exprimer, comme on sait, en fonction de y, Ay, A-y,..., A" y, et l'on a identiquement

(i) r„— 7-1-nAjH — '^ — —^^^r-\ — ^ ll^ -' A^r-f-- • •+'i"r-

Cette formule est bien facile à vérifier quand on suppose n= i, n = 3,..., et l'on

peut prouver très-aisément que si elle est vraie pour une valeur de n, elle l'est, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure.

Cela posé, si dans l'identité (i) on suppose nàx = h, et que l'on remplace n par .

la valeur — ' J„ deviendra ^{x -^ h), et l'on aura

y I ^^ ' I J ^x ,.5,. Aj;' 1.1. s ^x'

et si, laissante constant, on fait croître n indéfiniment, Aa; devient infiniment petit, et l'équation, dont le second membre se prolonge alors indéfiniment, devient

(3) ç(jr -t-A)==?(.r)+/if(*-)-f-7^T"(-»^)-+-7-^ ?'"(*•) + ■•••

(ielte démonstration n'est pas rigoureuse, et c'est pour cela que nous nous bornons à en indiquer rapidement le principe : lorsqu'on suppose, en effet, que n augmente indéfiniment, il existe toujours dans le second membre de l'équation (2) un nombre de plus en plus grand de termes qui n'ont pas pour limites les termes I orrespondants de l'équation (3). Le terme général est, en effet,

h.jli — iix) (h — i^x)...[h —['p — 1) A.r] M'y I . 9. . 3 . . . /> A.ï''

en lui assignant pour limite

//'' dey

.2.3. . .p dxP

On suppose implicitement que {p — 1) Aa? tende vers zéro, c'est-à-dire que p ne soit pas comparable an; or le nombre des termes pour lesquels cette condition n'est pas remplie augmente indéfiniment avec n.

La démonstration de Taylor peut cependant être complétée et conduire à une preuve rigoureuse du tbéorème; mais il est beaucoup plus simple d'adopter une marcbe toute différente, et qui conduit immédiatement à une expression de l'erreur commise lorsque l'on arrête la série après l'un quelconque de ses termes.

' Expression du reste de la série.

273. Démontrons d'abord un lemme fort simple dont nous avons à faire usage.

Lorsqu'une fonction continue f{a:) est nulle pour deux valeurs a ei b de ta variable dont elle dépend, la dérivée f'{x) de cette fonction, si elle est elle-même continue, devient nulle pour une valeur de x comprise entre a ci b.

Si, en efl'et, la dérivée f'{x) ne s'annulait pas, elle aurait toujours le même signe I. 36

•mm PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

entre les limites a et b, la fonction (p{x) serait, par conséquent, constamment croissante ou constamment décroissante lorsque x varierait de la valeur a à la valeur b, et ne pourrait pas, par conséquent, être nulle aux deux limites. Cela posé, considérons la formule

dans laquelle X et a; désignent deux nombres donnés quelconques.

Cherchons à déterminer l'expression du nombre R qui rend cette formule exacte; pour cela, posons

fX — ^V'+i

P étant un nombre inconnu qu'il s'agit de déterminer. Si l'on remplace x par une lettre variable z susceptible de prendre toutes les valeurs, la différence des deux membres de (i) deviendra *

fV 712 'V ,\n /V .\n+\

^(^)-^(-)-(^--)^'(-)-^:^^^^^-)-----bx::^^"^-)-..;.3...i^,P'

et cette différence est nulle par hypothèse quand on suppose s = a^; elle est évidemment nulle aussi, d'après sa forme même, pour z = X, et, par conséquent, la dérivée par rapport à z est nulle pour une certaine valeur de :; comprise entre x et X. Or cette dérivée, si l'on supprime les termes qui se détruisent, se réduit à

iI"..n.l-H(^--^"p.