I . a . . . n ' i .1. . .Il

La valeur de z pour laquelle elle s'annule, étant comprise entre x et X, peut être représentée par x + Q{X — x), Q étant moindre que l'unité. On a donc

et, par suite, #

. 2 . 3 . . . ( rt -I- I )

<f"+'[x-hB{\—x)]. m

Si l'on pose X — x = h, et que l'on remplace R par cette valeur dans l'équation (i), on a enfin

f(x + h) = ,y{x)-{-h^'{x)-^—,f"{x)-h...-\--!!—^''{x)-i ■:J^ ."-^'{X + Bfl).

Dans cette formule, n est arbitraire, si on lui attribue une valeur indéfiniment croissante, le second membre, abstraction faite du dernier terme, devient la série

trouvée par Taylor, qui est exacte, par conséquent, toutes les fois que le dernier terme t «

tend vers zéro lorsque n augmente.

Le reste renfermant dans son expression un nombre indéterminé 9, il sera quelquefois difficile de décider s'il tend ou non vers zéro. On pe,ut remarquer toutefois

que le facteur » / ^ ) ^ toujours une limite nulle, car, en y changeant/» en

n -h I, il se multiplie par — -— » qui, quel que soit h, tend vers zéro. Quant à •

l'autre facteur, ç"*' [x -t- 6h), il est en général fort compliqué, et la présence du nombre indéterminé 9 en rend souvent l'étude difficile; nous y reviendrons dans plusieurs cas particuliers.

■ / ^ Seconde /orme du reste. *

274. L'expression que nous venons de trouver pour le reste est due à Lagrange ; on peut, en modifiant légèrement la démonstration, lui donner une forme différente et quelquefois préférable.

Si dans l'équation

on pose

P étant un nombre inconnu tel que l'équation devienne exacte, il est évident que la dill'crence ^

est nulle quand on suppose z = x, et aussi quand c = X ; la dérivée par rapport a z de cette expression, c'est-à-dire ^ *

est donc nulle |»our une valeur de z comprise entre X elx, c'est-à-dire pour

' d étant un nombre convenablement choisi entre zéro et l'unité, et l'on a, par conséquent,

et, par suite,

en posant X — a; = A, l'équation (i) devient alors

Cette seconde forme du reste, donnée par Cauchy, est quelquefois plus avantageuse que la précédente.

Troisième forme du reste. ^■Il

275. En suivant la même marche que dans les deux démonstrations précédentes,

après avoir posé

posons

P étant un nombre inconnu. La fonction de z,

H évidemment nulle quand s = X, l'est aussi quand z=oe, et la dérivée de cette expression par rapport à z, c'est-à-dire f

est nulle, par conséquent, pour une valeur de z comprise entre x et X, c'est-à-dire pour ^ * <fe

0 étant lin nombre plus petit que l'unité. On en conclut

„ {X — xy-Pir — Q)"-? ^ ^^ ,^ i