I . ?, . 3 . . . rt

En bornant le développement à son premier terme, on a

Si l'on pose a = -> a? = -- on déduit de là, pour le logarithme d'un nombre -» une expression qui sera utilisée plus tard,

281. Développement de\{i + x). — La formule de Maclaurin donne immédiatement

I (i -(- JT) = ar — ^ -f- y — . . .-I- ( — I )"+• — (i + ex)-".

si l'on suppose x plus grand que l'unité en valeur absolue, la série à laquelle le second membre se réduit quand n est infini, n'est pas convergente, car le rapport d'un terpie au précédent a pour limite x, et cette limite étant plus grande que l'unité, les termes vont en croissant. C'est donc seulement pour des valeurs de x comprises entre — i et -f- i qu'il faut chercher si le reste tend vers zéro. Si j? est positif et moindre que l'unité, le reste

n tend évidemment vers zéro. Car on peut l'écrire

et la fraction étant moindre que a?, sa puissance n'*"" tend vers zéro, et il

en est, à fortiori, de même du produit de cette puissance par -• On a donc, pour les valeurs de x comprises entre o et i ,

I(i-+-j:) = x he-

x' jt'

<;ette série étant applicable au cas extrême où l'on a j: = f , car dans ce cas le reste

tend vers zéro, à cause "du facteur - ■. qui est multiplié par une quantité évidemment moindre que l'unité.

Si X est négatif et qu'on le représente par — œ', on ne voit pas immédiatement quelle est, pour des valeurs croissantes de n, la limite du reste

et l'emploi de la seconde forme du reste est ici très-utile.

Cette seconde forme donne (274) dans le cas actuel, pour l'expression du reste de la série,

'x' — Bx'\ "-*-'

-pi Ox' .

Or, la fraction , est moindre que l'unité et en diffère, quel que soit 6, d'une

quantité finie. Sa puissance (n — if^""^ tend donc vers zéro, et, par conséquent, le reste a aussi pour limite zéro, en sorte que la série de Taylor est dans ce cas convergente et représente 1 (i — x').

On a donc enfin

l{l-hx) = X \- -X-—-1-+...

pour toutes ks valeurs de œ comprises entre — i et + i . Nous avons fait remarquer que cette formule est applicable au cas extrême où l'on a x = -h t; elle l'est également au cas où l'on a x = — \ , car alors le premier membre est égal à — 00 , et le second se change en une série divergente,

282. La série qui représente \{t -i- x) peut évidemment s'écrire de la manière suivante : ^

En réduisant, en effet, les termes semblables dont le nombre est au plus égal à deux, on vérifie l'identité de cette formule avec la précédente. Si l'on suppose cependant X = i, la formule (i) n'est plus exacte, car elle donnerait I2 = o. Cette anomalie tient à ce que pour la valeur a; = 1 le développement de 1 (i + jt) n'est pas convergent indépendamment des signes de ses termes, et que l'on n'a pas, dans ce cas, le droit d'intervertir l'ordre des termes positifs et négatifs.

rejl

283. Développement de fi-t-a?)". — En appliquant la formule générale, on trouve