I -H mx -\ J
xH\-V-^xY . 2 . .i . . . n
Pour que la série indéfinie
m(m — i) , in{m — \)...{m — /H-2)
\-^mx-\ ^ x' -H ... H i '— — !^ ; xf-' -H . . .
soit convergente, il faut que x ne surpasse pas l'unité en valeur absolue; le rapport d'un terme au précédent est, en effet,
et il a pour limite — x, lorsque n augmente indéfiniment. Il ne peut donc y avoir convergence que pour les valeurs de x comprises entre — i et 4- i , et c'est dans ce cas seulement qu'il y a lieu d'examiner si le reste tend vers zéro. Ce reste
m[nx — i)(m — 2). . .(/n — At + i) , . ,
tend vers zéro si x est positif; on peut, en effet, l'écrire
' rm(/n — i)...(m — «+.)^1 F 1 T
L 1.2. .. M J L('-t- 'ixf-'"\
Or le second facteur est moindre que l'unité, et le premier tend vers zéro; car si n augmente d'une unité, il se multiplie par
qui diflere peu de — x lorsque n est grand, n augmentant indéfiniment, le produit placé dans la première parenthèse de l'expression (a) se multipliera successivement par un nombre aussi considérable qu'on le voudra de facteurs peu différents de —X, et dont le produit tend évidemment vers zéro. On a donc, pour des valeurs positives de x inférieures à l'unité,
\ .•}. I . 2 . . . rt
Si X est négatif, le raisonnement précédent n'est plus applicable, et il faut
recourir à la seconde forme du reste, qui est, dans le cas actuel.
Le facteur
tend vers zéro, d'après ce qui a été dit; l'autre facteur
devient, en remplaçant x, qui est négatif, par — x',
I \in— 1
Or la fraction r— 7 est moindre que l'unité, de même que la différence i — Gx';
cette expression est donc moindre que l'unité, et son produit par l'autre facteur, qui tend vers zéro, a nécessairement pour limite zéro. On a donc enfin, pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et +1,
, , in[m — i) , m. (m — i)...(m — ra + il 1 + x)-z= \-\-mx -\ ^ -x^-\-. . .H ^ — i^ x"-\-
On déduira sans peine du développement précédent celui de {x -1- h)'", car on a
• {x -+- hf = h" 1 1
et pourvu que x soit plus grand que h,
,, , mJm — 1),. , ni. {m — il...(w? + /i-f-i ) ,
284. La série que nous venons d'obtenir est trop célèbre et trop fréquemment employée pour que nous laissions de côté le cas où l'on a ic = ±: i, et auquel les raisonnements précédents ne sont pas applicables.
La série (i + a;)'" devient dans le cas de a; = i,
(,) 1 I m I "'•('""') m.[m—i){m—i) , , w.(m — !) — (/«— n -Mj ^
et, dans le cas de a; = — i ,
Cherchons d'abord si les termes de ces séries tendent vers zéro ; car c'est là une condition indispensable de convergence. Le rapport d'un ternie au précédent est, en valeur absolue,
Si m est compris entre — i et — « , chaque ternie surpasse donc le précédent en valeur absolue, et la convergence est impossible. Dans le cas extrême où m = — r , tous les termes des séries (i) et (2) ont même valeur absolue, et il ne peut pas non plus y avoir convergence.
Considérons donc le cas où m est compris entre — i et 4- ao .
Le rapport — ^— étant négatif, la série (i) a ses termes alternativement positifs
et négatifs, et puisqu'ils vont en diminuant, il y a convergence.
La règle de Gauss (242), appliquée à la série (2), montre qu'elle est convergente lorsque m est positif et divergente dans le cas contraire.
En résumé: la série qui donne (1 -f-i)'", c'est-à-dire
m.im — i) mi m — \)(in — 2] 1.2 I .2. J
csl divergente lorsque m est compris entre — i et — 00 , et dans ce cas les termes ne tendent pas vers zéro. Lorsque m est compris entre — 1 et -l- oc , les termes tendent vers zéro et sont alternativement positifs et négatifs, la série est convergente.
Dans le cas où /n = — I , tous les termes sont égaux en valeur absolue, et l'on ne peut pas dire qu'il y ait convergence.
Si l'on suppose a; = — i , la série devient
elle est convergente pour les valeurs positives de m et divergente pour les valeurs négatives. Il résulte d'ailleurs de ce qui a été dit (265) que la série représente dans le premier cas (1 — i)"*, et lorsque m est négatif, cette expression devenant infinie, la série divergente peut être considérée comme donnant aussi un résultat ncceptablc.
