La formule

I f I -H X V" = I -4- mx H i ■' .1-' -\ i 4 X» -f- . . . ,

dont nous venons de discuter les conditions de convergence et d'exactitude, est importante par ses nombreuses applications et tient de plus une place importante dans l'histoire de la science: c'est la première qu'ait connue Newton, et quoiqu'il ne l'ait publiée que plus tard, elle a précédé la découverte de la série de Mercator et de celle de Brounker.

Cette formule est encore remarquable par la facilité avec laquelle on en déduit d'autres séries très-connues et très-importantes.

On peut mettre l'équation (i) sous la forme

Si l'on fait tendre m vers zéro, le premier membre, qui peut s'écrire

a évidemment pour limite la dérivée de (i -^- x)'"- par rapport à m, pour la'valeur particulière m = o, c'est-à-dire l (i -j- a?). En faisant /n = o dans le second membre, on aura donc le développement de 1 (i +x).

/y*» fjr*^ 'X'^