I in (2/1 — i)(2rt — 2)... (/t-i-i

et par suite le produit 1.2. 3... rt.a''.X„ a pour terme général

■xtiAin— i). . An — 2m-+-0 . ,...

a.4...2m.(2n — i)(2n— 3)...(2rt — mi + i) c'est-à-dire, en supprimant les facteurs communs aux deux termes du coefficient,

^^n.in — i) . . . (n— m-+-i) , ,, , , , , „ ,„

± — i ■ — -— i ; (in — am) (2« — 2 m— 1) . . (n — 2»?+ ijx""-'",

ou enfin

.,«■(«— 1). ..{n—m-hi) d"{x'"-"] 1 . 2 . 3 ... m dx'

et par conséquent le produit 1.2.3... « 2". X" est la n'*"" dérivée par rapport à .r du polynôme,

i" — nx"-' ■+■ "'"~' x'"-* — . . . = (x' — I )" , I .a ^

on a donc enfin

a" . I . 7 . 3 . . n r/jc*

(i — 2zx + a'; ■•'=H-X,a-l-X2a=+...+ X„a" +

Celte formule est célèbre et nous la retrouverons de plusieurs manières.

289. Développement de sin x. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

jr> a-'' x'"~' x'"-^' sin Sx

sin x=^x ■

Pour toute valeur de x, le terme complémentaire tend vers zéro, en sorte que l'on a toujours

sin^:=^-

1.2.3 1.2.3.4-5 1.2.3.4-5.6.7 290. Déi'eloppement de cosa:. — La formule de Maclaurin donne immédiatement

.r- X* ar*" ces 6 x

cos^r = I

et l'on voit, comme dans le cas précédent, que le terme complémentaire tend vers zéro lorsque n augmente, en sorte que l'on a, pour toute valeur de x,

x'' X* ar"