COS X
291 . Développement de cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sin x. — La formule de Maclaurin permettant de développer une fonction suivant les puissances de la variable, permet par cela même de la développer suivant les puissances d'une autre fonction arbitrairement choisie, car rien n'empêche de prendre cette seconde fonction comme variable.
Si, par exemple, on veut développer cos mx en série ordonnée suivant les puissances de sino;, on posera sin j;=j, et cos wa; deviendra cos /n. (arc sinjj. Or on a trouvé ( 151 ) pour x=.o,
rf^"-^^ cos »! arc sin ^
-T-^^ =1— i)''+'w-.(m= — 4)(»i^ — i6)...(wi= — 4»\!cosm/nr,
rf"+' cos/narcsinj: ,>,.,, , r >,-../ -^f^;^. =zp(-i)"(w»— i)(w=-9)-[w^— (2/1-1)-] smw7,7r,
k désignant un nombre entier arbitraire, et le signe — de la seconde formule cor-
respondanl au cas où ce nombre est pair; la formule de Maclaurin donne par conséquent
ros mfarcsin ))=:cosmfrîr I i — )■' + - — ' " ." r* — - — ^— o' ) r r ' > '
, . , t r W , m»(/?j'— 4) , m'(m' — 4)(m'— 16) ifarcsm)- =cosmtîr i y^ H i — ^-r^ T ^ , ) > ,. — ■'
zsimsinmh
le signe — devant être pris lorsque k est pair. ^
Si l'on remplace y par sa valeur, la formule précédente devient
ces /«.r = CCS mA n 1 sin'xH .. . siii' .r ^^—: — -. ^^sin" jt -+-. . .
, r . m' — \ . , {m-'—i){ni'-q] . ^ "1
Zfinismmifn smx sin' jtH „ . - ^' sm' x — . . . •
il ne faut pas s'étonner de voir le second membre contenir un nombre indéterminé k. On sait en effet que, sina; étant donné, cosmx n'est pas déterminé, et peut avoir un nombre infini de valeurs si m est incommensurable, le développement de cette fonction, pour être général, doit donc être comme elle indéterminé.
Si l'on choisit une valeur de x, pour déterminer le nombre entier k, qui lui correspond et qui rend la formule précédente exacte, on se reportera à ce qui a été dit( 151 ). cos mkn est la valeur que prend cosmx lorsque sina; est nul, et par .suite l'hypothèse sin x = o répond à a? = kn. Si sin x croit à partir de zéro jusqu'à
l'unité, X variera de kn k kn + - si ^ est pair, et de kn k kn — - si k est impair.
Lorsque x désigne le plus petit des arcs correspondant au sinus donné, on a /• := o et
Wi' . , m'im' — 4) . . m^im^ — 4jf'"' — '(J) .
fOS///X= I SUl'i H r-y- Slfl' X J / ,- ,• ' Slll'-jr-l-. • -,
c'est la formule donnée parEuler et Lagrange, qui ne répond, comme on voit, qu'à un cas particulier.
292. Lorsque m est entier, on a un mkn = 0 et cos/wA7r= i: i . Si de plus m est pair, la série se réduit à un nombre limité de termes. On a, par exemple, en fai- -;int/n=2, /n = 4 , m = 6,
cos 2x = I — 2 sin' X ,
cos 4*= I — Ssin'x -h 8 sin' X, ^
cos6a:= i — i8sin'x-f- 48sin' x — 32 siii'x.
2D3. fkveluppement de sin mx suivant les puissances de sin x. — Si l'on pose L 38
sinif = y, la ionction sin wj; devient sin (warcsinj): or on a trouvé (153;, pour
({'"■*■' sin m arc sin r , ,„ , , , / , , , / , > • i
-^ =( — I)"m^(/w' — 4)... {m' — /in')sm mhn.
dy
</'"+' sin w arc sin r . , >/,,,, , r , > t
^— -^-; -^ =±(- i)"(»!'— !)('«' - 9). . .[«,'(2«,)']mcosm^»r.
et par suite le théorème de Maclaurin donne, en remplaçant/ par sin x,
, r '«' • , w'(w' — 4) . , m'im' — A] (m'- i6) . 1
sin m.r= sin /n Ait i sm'xH , 7 sm'x ^- J-^. „ . ^sm"x-(-...
L ■•Si 1.2.3.4 I.2.3.4-3.6 I
. , r . (/«' — i)sin'ar [m' — i] (m^ — a] . "1
±OTC0sm/r7r sin x — —- f--^ !: , ^ ■ sin'.r — . . . ,
k est un nombre entier qui reste arbitraire tant que l'arc x n'est donné que par son sinus. Dans le second terme, il faut prendre le signe + si /i: est pair, et le signe — si A est impair.
La formule suppose, pour ûx\x = o, ûnmx — sin mkn ; lorsque sin x augmente
àpartir de zéro, l'anglea?, d'abord égala X-7I, augmente jusqu'à ik+-\n si k est
pair et diminue jusqu'à ( ^— - j n si ^ est impair. Dans le premier cas il faut prendre le signe 4- du second terme, et dans le second on prendra le signe — . Lorsque x est le plus petit arc qui correspond au sinus donné, on a
sin/nx=:msinx i 5 — -' sin'arH !^ ' . ^ ^-' sin':r + . . . :
c'est la formule donnée par Euler et reproduite par Lagrange.
Lorsque m est entier, sin mkn se réduit à zéro, et si de plus m est impair, les termes deviennent nuls à partir d'un certain rang et la série se réduit à un nombre limité de termes. On trouve par exemple
sin 3.r = 3sin j; — 4 sin' .r, sin 5 .r = 5 sin x — 20 sin' jp + 16 sin' x , sin 7 ^ ^ 7 sin x — 56 sin' x + m 2 sin' x — 64 sin' x , sin 9^ = 9 sin a; — 120 sin'.r-j-43'sin'.r — 576 sin' .r+ aSô sin" x, sin I ix = i I sin a^ — 220 sin' x+ 1282 sin' .r — 2816 sin' .r + 28 iG sin' a: — 1024 sin" x.
