Les formules

r . w'— I . , fw'- i)(m'— g) . . 1

= m sin X r- sin»x-+- ^ ' ^ . .. ^' sin'a- — . . . »

smmx

ni' . . m' (m' — 4) • .

ces mx = I sm'a: H ;r-7^ sin' x — . . . ,

peuvent aussi servir à retrouver les développements de sin z et cos z suivant les puissances de z. Posons en effet ma; = s et supposons ensuite quew

atigmente indéfiniment, tandis que x tend vers zéro, le rapport — - ayant

pour limite l'unité, on pourra remplacer sin x par x, c'est-à-dire par — : d'ailleurs

mim} — 1]

lim — ^ — ■ =1,

m(/n' — i) (m' — o) lim — -~ — = I,

et par suite les équations ( i ) deviendront, à la limite,

sm z = 2

cos z =

296. Ikveloppement de cos/n.r suwant les puissances de cos a;. — En avant égard aux valeurs obtenues (154) pour les dérivées de cosm (arccosa;), on trouve par l'application directe du tbéorème de Maclaurin,

cosmx = cos( afr-H 1) — { i cos' jth ^ — ~- ces* a: — . . .

±ms\\\[ih-\-i ) — rosx cos';r4-' 1 / e- COS*jr— ... U

X: étant un nombre entier arbitraire, et le signe -t- correspondant au cas où X: est

pair, et le signe — au cas où k est impair. La formule ( i ) suppose que pour

cos a7 = o on a ic = (2^- + i) -• Si cosa; varie de o à \,x varie de (2A + j ) - à ^t:

lorsque k est pair, et de (2^+ 1) - à [k-k- 1)71 lorsque^ est impair.

Si l'on veut que x représente le plus petit arc dont le cosinus est cos x, on a X: = o et

mn [ m' mHni' — 4) \

cos/M.r = cos — I — ■ — cos'.r H ^^ — ^— ?■ cos'.r — . . .

. w 7r / tn' — I \

+ m sin — cos x ~ ces' x + . . . ) •

Si l'on fait m= 2, m=^?>, m^ l\, on trouve

cos IX = ■}. COS^ X — 1 ,

cos 3 :r = 4 cos' X — 3 cos x ,

cos4^ = 8cos'^ — 8 cos- x-\- \ ,

cos 5 ^7 = 1 6 cos' X — 20 cos' x -\-5 cosj;,

cos 6 .r = 32 ces" x — 48 cos' a- + 1 8 cos' x - - 1 .

En général, cos mx se compose d'un nombre fini de termes toutes les fois que m est entier. Les termes sont de degré pair ou impair, suivant que m est lui-même pair ou impair.

297. Développement de sin mx suivant les puissances de cos x. — En ayant égard aux valeurs obtenues (155), pour les dérivées de sin (marccosa;), quand on suppose x = o, ou trouve

sm /w.r = sm 2 /f + I — ' — cos' x A — r-r*- cos' x — ...\

zjzmcos 2/,-|- 1) — cosx cos'jr-|- „ , -^ cos x- — ... ,

k étant un nombre entier arbitraire, et le signe — du second terme correspondant au cas où k est pair. La formule suppose que pour cos a; = o on ait a; = ( 2A+ 1 ) -?

et lorsque cos x varie de o à + 1 , x varie de (2 A- + 1 ) - à A-?: si k est pair, et de

(aXr+ij -à (k + 1)7: si A est impair. Pour aucune valeur de m celte série ne se réduit à un nombre limité de termes.

298. Remarque relative aux quatre séries précédentes. — Considérons les quatre

séries qui viennent d'être obtenues :

cos mx

sin mx

z^msmmkv: %\nx ^sin'ar-(-' ^ , - ' sin'x — . . \i

= sinmA-jr i sin'arH ^ — =— ^î-'sin'jr i 7 r k a ■sin''j: + ...

± m cos mhic\ sin .r 5- sm' x H , . - • sin' x — ... 1

, , , nijr / m' . /n'(m' — 4) \

cos mx = cos (2fr4-i) I cos'xH 5-7!-' cos'x — ... )

^ . , , ,mnr m' — i , , (m' — i)(m» — 9) ^ H

±: m sin {2/1-1-1 — cosx 5- cos'ar H .' , ^ cos'x — . . . >

sin mx = sin(2/i-{-i) ' cos'a:-^ ^^ — 5— r- cos' ar — .. .

, , , "iT r '"' — • . ("*' — of"*' — q) . 1

:T:m cos {2 A- 4-1 — cosx 5-cos'x-(-' -, , r cos^ x — . . . >

la forme même de ces séries donne lieu à une vérification qu'il est bon de faire remarquer. D'après les explications qui ont été données relativement au sens qu'il faut attribuer au premier membre pour une valeur donnée de k, si l'on nomme a le plus petit arc, positif ou négatif, ayant pour sinus sin ce, on a

cos m a = I — m' sin' X -I 5—?- sin' x — ...

sin ma = m sin x — ■ ^ sm'xH . • sin'x — . .. h /

on a de même, en nommant a' le plus petit arc qui ait pour sinus cos .r ,

cos ma' = I cos' X H :r- r cos' X — . . . ,

sin m a = m cos x =- cos' .r -(- . . . 1 •

Les quatre formules deviennent, d'après cela,

Posmx= cos m kit cos ma± sin m/iw sin ma = cos {mkndzma.),

sin mx = sin m kit cos ma ± cos m A w sin ma = sin(mA->r±m«),

,. .mit • ± • , I ,mit. , ^P/f ,wijr 1

cosmx = cos(aft-+ i cos m a dbsm(2fr-Hi) — sin ma ■= Cos (2A -i-i) — qzma' ,

• , t .mit , mit , , F/ f , «1 j: ,1

sinmx=sin(2A+i) — cos m a' q: cos (2 «• + 1) sin m a' = sin (a/i -1- 1) — zp ma' ,

■,m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

les signes supérieurs correspondant au cas où le nombre entier k est pair, et les signes inférieurs au cas où il est impair. Or l'exactitude de ces dernières formules est évidente; « étant en effet le plus petit arc dont le sinus est sin x, l'arc x a pour expression kn ±. a., le signe + correspondant au cas où k est pair, et le signe — au cas où k est impair. De même, a' étant le plus petit arc dont le sinus est

cos^, (aX; + i) - qp «', est la valeur générale de l'arc dont le cosinus est cos x, les

formules précédentes peuvent donc être écrites à priori, et font voir que les formules particulières d'Euler comprenaient implicitement le développement général donné plus tard par Poinsot.

299. Développemenl de — ^ — '- suivant les puissances de tanga;. — En posant

sin mx cos"' X pour X — o.

tanga;=j, la fonction — :;;p- devient sin (m arc tangj) (i +j^)^. Or on a (156)

f/'"'sin(OT arc langa:) {\-\-x^)''

dx-"

(/'"+' sin(marctan2,r) ( I +x')' , > , ,, , ,

et, par conséquent, le théorème de Maclaurin donne

■ / . ^ / , , ^ mi m — I ) ( '" — 2 ) sin ( m arc lang j) ( i -\-y' ) ' = my — ^ -— y'

c'est-à-dire

r m (m — r ) ( m — ■?.) sm mx = cos"' x m lang x ^ —^ lang' x

+ ■...3.4.5 ^lang^--...J.

Dans cette formule x désigne le plus petit arc dont la tangente est'tang x. On trouverait de même, à l'aide des dérivées calculées (157),

cos DIX = cos"' .ri i : lang' x h ^ — P lang' x — . . . •

Les formules générales relatives au cas où a; est l'un quelconque des arcs qui ont pour tangente tang x, peuvent se déduire de celles-ci. Si en effet a est le plus petit

arc ayant tanga; pour tangente, les autres sont de la forme kn + a, et par conséquent les valeurs générales de sin nwc et de cos mx sont,

sin mx = sin m a cos mkic ■+■ sin mkic cos ma., cos mx=: cos ma cos mkn — sin ma. sin w/ur .

300. Développement de arc tang x. — Nous avons trouvé ( 146) que pour x = o on a généralement :

d*"dtTC tang X

on en conclut, d'après la formule de Maclaurin,

1, arc langx = x — ^ + -^ h..,

et comme on a trouvé aussi (144), en posant arc tango; = u, - — u=^y,

(/"+' arc tang ar (1.2.3... n)( — i)" . , , „ , . . / , . ^. ^^^, =■ ;;t; — ^ sin («+.)/= 1.2. 3... «(-i)-sm(/H-i)/sin''+'j,

le terme complémentaire est

;^ sin(n+i) 1 - — arc tang9.r |• x^ Or, pour des valeurs de x comprises entre — 1 et -f- 1 , —, tend vers zéro

lorsque n augmente, et par suite la série (1) s'applique à toutes les valeurs de la variable, comprise entre ces limites.

301. Développement de arc ising {x ■+■ h). — En appliquant la formule de Taylor et faisant usage de l'expression de la dérivée qui vient d'être rappelée au para- ^ graphe précédent, on trouve

II' /i' ** h'

( I ) arctang(jr-|-A)=arc langx+Asin'^- sin'^sin aj-t-s- sin'/ sin 3 >• — y-sin'/sin 4.1 + . . •

Cette formule donne plusieurs conséquences remarquables. Si l'on y faii // on obtient

o = arclangx — x s'iu'y sin'/ sin 2 j — •=- sin»/ sin 3^— . . ;

;{0i PREMlÉKIi: PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL, mais de l'équation arc tanga; = y, on déduit

x=^coly, el par suite /t = — cet/,

et l'équation précédente devient

TT . cos'^ysmiy cos'jsinS^- cos'jsin4j

j= sin jcosr +

Si dans la même formule ( i ) on fait A= —x = — tang « — cot m = : ■>

^ ' X " smrcosj

on aura ^, * arc lang(x + /() = arc tang = harclangj: = — y,

et par suite la formule (i) devient

sin y 1 sin 9.J i sin 3 y

2 ' cosy 2 cos'j 3 cos'y

n sin r I sin 2 r i sin 3 r

2 ces/ 2 cos'j 3 cos^j

Si l'on suppose enfin

■^ ces j< smr

on aura

arc tang (^ + /« ) = arc tang (x — y'i -i-.r^j = arc tang [ y/ 1 -f- jt^ (sin u — i)]

sin M — r I — ces y 1 1

= arc tang = — arc tang — : =- = — arc tang. tang - r= )",

" cos« smj 2' 2

et, par suite,

" d'où

-^ = ^ — .)•— sin/— i sin ly— ~ sin 3 j— , . . ,

=- = sin jH — sin 2j-f- - sin3r-)-.

Nous avons cru devoir faire connaître ces diverses séries, à cause de leur célé-

* brité et pour donner un premier exemple des transformations que l'on peut faire

. "subir aux résultats immédiatement fournis par les formules de Taylor; mais nous

retrouverons la plupart d'entre elles par d'autres procédés qui nous permettront de

décider dans quels cas elles sont applicables.

302. Développement de arc ûnx. — On a trouvé (147) que, pour x = a, on a

</'" arc sinx

</""*■' arc sin JT

dx-"-^'

= (i .3.5. . . art — i)- ;

on en conclut

x' xK(i.3y x'.(i.3.5)'

arc sin j: :

Cette série, dont l'identité avec celle qui a été donnée (294) est évidente, est convergente pour les valeurs de x moindres que l'unité. Nous ne discuterons pas ici la valeur du reste, parce qu'un autre procédé nous permettra de démontrer que cette série représente effectivement arc sina;.

303. Développement de (arcsina;)*. — On a trouvé (148) </'". (arcsinx)'

</"+'. (arc smxf

on en conclut

(arc sinxY=x'-+- = H ~-f -5- -♦- ô-? r

Il est bien entendu que dans cette formule, comme dans la précédente, arcsinx désigne le plus petit arc dont le sinus est x, celui qui s'annule pour a? = o et reste

compris entre et

304. Développement de X col X. — D'après les valeurs trouvées pour les dérivées de X cota:, quand on y suppose x = o, le développement de x cota; est

xcoix= I

La loi des coefficients résulte des formules (147j qui permettent de les calculer successivement; mais leur expression se rattache, par une loi que nous ferons connaître, à une suite de nombres fort importants qui sont connus sous le nom de nombres de BernouUi.

305. Développement de -^^- En se servant des résultats donnés (150^, on

trouve immédiatement \

Les coefficients de — ■> 5—7» , , .. /;»•■•; sont nommés les nombres de

liemoidli; nous les étudierons dans un chapitre spécial. En les désignant par

B,, Bo, B3,..., on a

X X \i, Bj B3

Nous nous bornerons à remarquer que le développement de ^ permet d'effectuer celui de — et celui de — ^ : on a en effet

X oc "zx ^

et, par conséquent,

c'est-à-dire

On a aussi

306. Le développement de x cota; permet de développer sans calculs nouveaux plusieurs autres fonctions liées à celle-là par des relations simples. On a

tangx=:coix — 2C012X,

cosécx = tang — hcotx; #

par conséquent, si l'on pose

•r COlx = i — A,x'— x\,x' — A^x»— A,.r'—

UVBE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 307

On en déduira

tangjr= A, (2' — i)x-)- A,(2" — i)x'-\- k,{i' — i)x'-l-. . . ,

cosécx = - -(-A,(?. — 1) - -f- A,(2' — 1) o--)-Ac(2'— 1) -5- -h

On a enfin

= colx.

La fonction I étant paire et nulle pour a; = o, on peut poser

1 !1I1£ = C. ^'-4- C. jr« 4- Ce^'H- . . . ; on aura, en prenant les dérivées des deux membres,

coix = iC,x -^ ^C,x'-\-6CtX^-\-- ■ -.

et en remplaçant cota; par la série qui le représente, on en déduit

CAj „ A« ^ Aj î = 5 t.4= 7"' '-■«=^ jr-î-'-)

et, par conséquent,

, smx A, A, . Ae ,

Si l'on remet des nombres à la place des coefficients A,, A^, A, on trouve

. sina- I x' \ x' 1 x'' I a:' 9. .r"

Quelques applications du théorème de Taylor.

.'107. L'application du théorème de Taylor au développement d'une fonction exige le calcul des dérivées de cette fonction; mais il arrive quelquefois que des considérations particulières permettant de faire directement le développement, le théorème de Taylor donne au contraire le moyen de calculer des dérivées d'ordre élevé dont la formation directe serait plus difficile. L'exemple suivant, emprunté au géomètre anglais Murphy, est très-remarquable.

Considérons l'expres.sion

;i08 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Le coefficient de a" est dans le développement, — ^ — - -, et par suite dans le déve-

loppement de — f^ — Le coetucient de a" est évidemment