I . a ... « dx" or on a

dx- =-^°'(« + ')(=' + 2). ..{« + «); mais cette expression est égale au produit de la série

^« = e«''^=,-t-aU-+ — (lx)=+-^(l.r)'-h...H (1^)" + ...,

par le polynôme

OÙ Sp est la somme des produits/? kp des n premiers nombres entiers. En formant le produit par la méthode ordinaire de multiplication, on voit que le coefficient de

x" est

H-S,lx + — (Ixj» + ...H (l.r)".

d" X" ( 1 ^^" Telle est donc la valeur de — ,\ i et il serait beaucoup moins simple de l'obtenir directement.

308. Nous ferons connaître enfin une formule élégante à laquelle conduit le théorème de Taylor pour exprimer la dérivée d'ordre quelconque d'une fonction de fonction. Soit j = f{u) une telle fonction, u étant une fonction donnée de x; si l'on attribue à a; un accroissement h, l'accroissement correspondant de y est représenté, d'après la formule de Taylor, par

dy . d'r /i' d'Y h'

-^ dx dx' i .9. dx" \ .1. . .n

Soit k l'accroissement correspondant de u, l'accroissement de y, c'est-à-dire de (f{u), est représenté aussi par

•^ du du'\.-îdu''\.2...n\'

On a d'ailleurs, en appliquant toujours le même théorème, , du d'il h' d"u II"

dx dx'l.2. dx" 1.2,.. H

En remplaçant k par cette valeur dans la série précédente, et égalant les deux

valeurs trouvées pour Aj, on a

Idu , d'u li-

■^ d"y A" '^ dff \dx dx- i .2

^ dx" \ .■}.. . .n -^ duP 1.2... p

Si, dans le second membre, on développe la puissance p''"" d'après la formule connue pour la puissance d'un polynôme, on a enfin, en égalant les coefficients de

h" dans les deux membres,

(dUi\K / d"u \'',„

dx^ I I dx" \

dx" ^ dui" 1 . 2 ... A, 1 . 2 ... A, 1 . 2 . 3 . . . A„

//,, h-i,..., h„ devant prendre toutes les valeurs telles que

A, + 2 A, + ... 4- /M fia = II,

et p étant égal à A, + ^^ +...-f- /*,„.

Si, dans cette formule, on suppose u = x', on aura -j- = ao;, t-^ — '^, et les

dérivées suivantes étant nulles devront avoir pour exposant zéro; la formule se

réduit alors à

d"r x? , „, „ {2xy" I

dx" ^ ^ ' 1 . 2 . 3 . . . A, 1 . 2 . 3 ... A,

Dans cette sommation Aj est arbitraire, A, est égal à «— 2Aj, et /> à /<, + //., ('(sià-direà« — Aj, la sommation devra s'étendre à toutes les valeurs de fi^ inrériciins

EXERCICES

Si l'on pose, comme le fait Gauss dans un de ses Mémoires,

on il