CHAPITRE III

Série de Bernoulli.

309. Jacques Bernoulli a fait connaître, dès l'origine des nouveaux calculs, une série applicable, comme celle de Taylor, au développement d'une fonction quelconque, et qui peut d'ailleurs très-facilement s'en déduire. Si dans la formule

F(.r+/0 = F(x)4-/iF'fx) + -j^F"(.r) + ... ,

on pose hz=. — X, on en déduit, en faisant passer dans le premier membre tous les termes autres que F (a;),

(.) F(.r) = F(o)+xF'(x)—-j^ F" (.r )+....

Les coefticients des diverses puissances de x étant ici des fonctions de la variable x elle-même, cette série est d'une forme très-différente, et en général beaucoup moins utile que la série de Taylor.

Nous nous bornerons à indiquer une application.

Soit

'F(x-) = (.r + «)", la formule de Bernoulli donne

(2) ( J? + a )" = «" + wj: ■( j; 4- «)"-' — "• ^* j;2{jr + «)"-' —

Cette série peut d'ailleurs s'obtenir à l'aide du binôme de Newton : on a en effet

(3) rt" = («+^ — x)" = (a4-^)" — nx{a^x)"-' H —^— [n + x)""',

et l'identité des formules est évidente.

310. On a choisi l'exemple précédent, parce que la formule trouvée donne un moyen assez commode de calculer très-exactement la valeur numérique de certaines racines. En divisant l'équation (3) du paragraphe précédent par [a +xfa".

on en déduit en effet

, I r nx un — i .r'

Cette série peut être employée avec avantage pour le calcul des racines irrationnelles d'ordre quelconque.

On décompose le nombre {a + x), ou son multiple par une puissance de même ordre, en deux parties très-inégales, dont l'une a est la n''"" puissance d'un nombre entier.

Par exemple, si l'on veut calculer \i, on prendra

il'oii

Posons en conséquence

nous aurons

^2=if.

^rrie très-convergente et dont le calcul numérique est facile.

En effet, on a, en convertissant les termes entre parenthèses en fractions délimales,

résultat dont les vingt décimales sont exactes.

Si l'on veut déduire de la même formule la racine cubique de 3 , on remarque

(|iir l'on :i

2v^3 = vî4 = ^'^1 — 3> et par suite, en posant a=2'], x — Z, n-=— y

2 Vd - d. ^ . - ^ 4- 3.ti ,4,— 3.6.^.34; ^ • • • j

et

On pourrait encore obtenir des séries plus convergentes, par exemple.

série extrêmement convergente, le rapport d'un terme au précédent étant < — • Le calcul numérique de ces termes donne

on a donc

(3=; 1,442249^703074 exact à i3 décimales.

Formule de Lagrange.

311 . Soit z une fonction de a et de a; définie par l'équation

z est développable en série ordonnée suivant les puissances de x, et la formule de Maclaurin peut fournir, comme pour toute autre fonction, les termes successifs du développement. Le problème n'a donc rien qui le distingue essentiellement de ceux que nous avons déjà résolus, mais il est remarquable par l'élégance du résultat auquel il conduit et que l'on peut obtenir par plusieurs méthodes. Remarquons d'abord que, u désignant une fonction quelconque des deux variables x et a, on a, quelle que soit la fonction désignée par le signe F,

en effectuant les différentialions indiquées, on trouve, en effet, que chaque membre se réduit à

,,, , , du du ,, , , d' u

dx da da dx

On pourrait encore démontrer la formule (2) en remarquant que F (m) y^ et F(u) '—

sont respectivement les dérivées par rapport à a; et par rapport à a d'une même fonction © (m) telle que y' (u) = F (m) , et l'équation (2) équivaut alors à

dx da da dx Cela posé, reprenons l'équation

en désignant par w une fonction quelconque de z.

On a, en vertu jflu Ihéorème de Maclaurin,

( T") ' (t^ ) "' (t^ ) ' '"^'quant les valeurs que prennent les dérivées de u par rapport à x, lorsqu'on y remplace, après la différentiation, œ par zéro. Ces dérivées doivent se déduire de l'équation (ij qui définit la fonction s, et la méthode générale, applicable à toutes les fonctions implicites, permet de les calculer successivement; mais l'emploi de la formule (a) simplifie notablement les calculs en permettant, comme on va le voir, de remplacer les dilTérenliations par rapport à a- par des difîérentiations par rapport à a: l'avantage de cette transformation est évident, car lorsqu'on différentie par rapport a a, x est traité comme une constante, et il est indifférent de le supposer nul avant ou après les opérations. Or l'hypothèse a; =; o donne z = a, et les différentiations indiquées portent alors sur des fonctions explicites et données de la variable a. On déduit de l'équation (i)

dz , , , , ,dz

et par conséquent

^ ' dx I— x?'(z)

On déduit de la même équation (

dz ,, ,dz

-=,+x,iz)-j-^-.

par conséquent,

dz

da I — Xf'

La comparaison des formules (3) et (4) donne

dz- , ,dz '5) Tx=''^'^da

En désignant par u une fonction quelconque de z, on aura

du du dz

dx dz dx^

du du dz

d(i ïTz d(i

314 PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENllEI,.

et par conséquent l'équation (5) entraîne ,

du , ^ du

Calculons maintenant -T-7 5 'T^""' en cherchant toujours, comme nous l'avons

annoncé, à remplacer les différentiations par rapport à x par des différentialions par rapport à a. On a

djj^ __ d ( du\ d r , ,^1 dx' dx \dx ) dx {J da\

et, en vertu de l'équation (2) ,

Si l'on représente u, qui est une fonction de z, par/(z), on a

du . dz

di-J ^'>di'

et l'équation (7) devient

on en déduit

d^ u d d^u d d V (,^"1 d d V du'\

~d^--'Tx"d^'-'di'Ta\}^^'~da\ ~TadiY^^^>'Tay

et, en vertu de l'équation (2),

d'u rf= r ^«-1 d-^ \ ^ ^., ^ dz'\ rf' r , uy,, ^«^2l d' r , ,</«"!

La loi générale s'aperçoit aisément, et l'on est conduit à écrire ,e> d^u à'-' r , , du~\

^^^ -d^ = 7n>^V^'^"Ta\-

Pour démontrer cette formule, supposons que l'on ait déjà trouvé

-'« d"~^ r , , du']

d"-' u d"-' dx'

on en conclut

(/"«< d"-' r ^ dul d"-' d r , ^ dul

et, en appliquant successivement les formules (3) et (6),

M rf"-' r , , (lui

dx

Pour calculer les dérivées y-» j— r •' 7-7 lorsque l'on suppose a; = 0, il suffit

d'introduire cette hypothèse dans les valeurs que l'on vient de trouver, et comme toutes les différentiations sont prises par rapport à la lettre a indépendante de x, il est permis de faire a;=o avant d'effectuer les opérations; on aura alors

z —a, -7- =/' (a), et la formule (8) donne

(S)=£itT(«r/'(«)]:

le développement de u, c'est-à-dire de/(3), est par conséquent

/(z)=/(«) + xç(a)/'(a) + ^^[?(«)^/'(«)]+^^Jî(«)'/'(«)]-f-....

Cette formule très-élégante, qui a été donnée pour la première fois par Lagrange, est connue sous le nom de Formule de Lagrange.

312. Laplace, à qui est due l'ingénieuse démonstration que nous venons d'exposer, a présenté le théorème de Lagrange sous une forme plus générale, mais la formule qu'il a fait connaître se déduit si facilement de la précédente, qu'il semble inutile de la désigner par un nom différent. Supposons que l'équation (1 ) du paragraphe précédent soit remplacée par

et cherchons à développer une fonction/(2) en série ordonnée suivant les puissances de x\ posons

{■>.) a-hx<f{z)=t,

on aura

et par conséquent, en vertu de l'équation (2), (3) t = a + x^[F{t)].

Le problème revient alors à développer /[F (^)] en série ordonnée suivant les puissances de x, ce qui est une application immédiate de la formule de Lagrange; on a ainsi

31(J PllHMikKI-: PAUTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.