Considérons enfin l'équation générale de degré n

posons

l'équation deviendra

a, + a,x n-- ■ .-ha,x^'

c'èst-à-dire

On pourra donc développer x par la formule de Lagrange, en série ordonnée suivant les puissances de Uq, le coefficient de étant égal à

dx'"~' dx"-'

dans lequel il faut, après la différentiation, remplacer* par zéro.

Pour calculer cette expression, le plus simple sera de développer en série l'expression

et de chercher le coefficient de x'"-' . Ce coefficient, multiplié par i .q.3... (m— i), est égal à la dérivée cherchée. Nous indiquerons, dans ce chapitre même, le moyen de le calculer par la méthode des coefficients indéterminés. 320. Nous donnerons enfin, pour dernière application de la formule de Lagrange,

l'expression obtenue par M. Cayley pour le développement d'une fonction -/— ,

If {z)

lorsque l'on sait développer toutes les puissances entières et positives de<f {z). Si l'on a

(•) z = a-\-xif{z),

la formule de Lagrange donne

(2) F(.) = F(«) + fF'(«)ç(«) + -£lj^F'(a)ï(a)=+-^^^F'(«)^(«)'+....

Différentions les deux membres par rapport à a, en remarquant que ^, déduit de l'équation (i), est égal à

I ' — Xlf { z)

nous aurons

ou, en remplaçant œ par sa valeur

Dans cette équation la fonction F est arbitraire, et il en est par conséquent de

même de la dérivée F'. Posons F' (z) = — r— ,» on obtient

/ I r[z — a)-\ rf' . ,

a 1 .2 L (j){z) J tffl' ^

<[. ( 3 ) — ( z — a ) ç' { z ) ~~ <f ( a ) «p ( z ) (la

Faisons dans cette formule z = o , et soit y (o) = A , elle devient

et par conséquent

I I a I </' , , a' I rf' , „ a* </' , „

y a ) .V i.-x K? da? ^ \ .i.Z S} da? ^^ ' 1 .2.3.^ da* ^ ^

Série de Bur marin.

321. Burmann a fait connaître une formule très-générale qui comprend comme cas particulier la série deLagrange, mais qui est elle-même très-facile à en déduire; il a résolu le problème suivant:

Développer une fonction /{z) en série ordonnée suivant les puissances d'une fonction donnée F ( z ) .

Pour résoudre ce problème, remarquons qu'étant donnée l'équation

(1) z = a-hx<f{z),

la formule de Lagrange permet de développer une fonction quelconque/(z) en

série ordonnée suivant les puissances de a;, c'est-à-dire de ^ , , • Si donc on pose

Cette équation déterminera (p(z), et la formule de Lagrange résoudra le problème que s'est proposé Burmann.

322. Proposons-nous, comme application, de développer e" en série ordonnée suivant les puissances de ze*'; l'équation qui détermine <p {z ) est ici

ze*'.

Si l'on pose a = o, «p ( z) = «-**, cette équation est satisfaite et l'équation ( i ) du paragraphe précédent devient

s = xe-*'t

la formule de Lagrange donne par conséquent pour le développement de ef"^ suivant les puissances de a;,

,, ar» a. (a — 36)' ,

(2) e"=^i -h ax-i-a.{a — 26) ■ -{ ^ — ^ ' x' +. . . ,

c'est-à-dire, en remplaçant x par sa valeur,

(3) e"=i +aze^'+ a.(a — ib) hrt(« — 36)' = -f-.". . .

> ' 1.2 1.2. Ci

Série d'^bel.

323. La série que nous venons d'obtenir permet de démontrer une formule trèsgénérale et fort remarquable due à Abel. Considérons une fonction quelconque y (z), à laquelle nous n'imposerons que la seule condition d'être développable en série ordonnée suivant les puissances de e*^:

(i) f (2) = Ao + A,e'-hA,e"-|-A3e"+

La formule (3) du paragrapbe précédent donne, si l'on y suppose successivement

e° = I -\-(ié-{-a{a — -}.b] - — \- a.{a — Zhf—- — =^ +•...,

6'»= I H-2ae'* + a(a — ib) — \-a.(a — 36)'

^na , ^ nae"* -\-a{a — 26) n'e"''+ a. [a — 36)'

Multiplions la première de ces équations par A^, la seconde par A, e^, la troisième par AaC''-^..., on aura, en ayant égard à l'équation (i) et à ce^s qui s'en déduisent en changeant a; en a; + è, x+ib...,

I ■. , . ,, 1-. a [a — 26),,, ,, nia — nb)"-' , ,.

<^[x-\-a)=^[x)-k-a<i'{x + b)-\ i .' y"(ar + 26)+...H ^ f (jr + «6) + ....

\ » Jt \ 9 2t • ^ % t t fil

Si l'on suppose, par exemple, 9 (a;) = ic"', on en déduit

(.r-|-rt)'" = j?'"H-m«(.r + 6)'"-'+ w[w 1) ^^^ — 26) (.r + 2 6)'"-'-l-

Méthode des coefficients indéterminés .

324. La méthode des coefficients indéterminés a fait découvrir un grand nombre de séries importantes; elle est d'un usage très-rapide, mais on ne doit

pas oublier qu'elle n'est rigoureuse qu'autant qu'un raisonnement préalable a légitimé la forme de développement adoptée. Sans cela les résultats obtenus ne peuvent pas être regardés comme certains.

Les démonstrations données dans le chapitre précédent autorisent à regarder une fonction quelconque comme développable suivant les puissances d'un petit accroissement attribué à la variable. Lagrange s'est efforcé, dans un ouvrage célèbre, d'établir à priori cette possibilité, mais les géomètres s'accordent h ne pas regarder son raisonnement comme concluant.

325. La "fbrmule de Taylor se déduit très-aisément de la méthode des coefficients indéterminés, dès que l'on a admis la forme du développement. Soit en effet

les coefficients A, B, C... étant des fonctions inconnues de x. Si l'on fait A = o,

on en déduit

en prenant ensuite les dérivées successives par rapport à h, et faisant dans chacune d'elles h = o, on trouve

et ainsi de suite, de sorte que la série ne peut être autre que

y(jr-t-A)=?(x) + /i/(;F)-h--l^"(.r) + ...+ " „T''(.r)-t