on doit donc avoir

2.3.4 2-3. 4. 5. 6 En effectuant le produit indiqué dans le second membre et égalant les coefficients

des mêmes puissances de x, on trouve

on en déduit

ainsi qu'on l'a déjà trouvé (304).

327. Développement du produit ( i +xz) ( 1 4- x'^z) ( i + x^z) ( 1 -\-x''z) . . .( 1 -^x''z). . . . Désignons ce produit par P et posons

P=i +A,z + AïZ' + A32'4-

Si, dans le produit P, on change a; en a;^, il devient évidemment — —; on doit donc avoir

i-f-A,.rz +■ A, X'' z' -h AiX' z' -h ... =

en chassant le dénominateur et égalant les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres, on a

.r -h A, ar^ A|, A,x' -\- A2X' = A.2, Ajx' + Ajx' = A3,. . . ,

on en déduit

' ii—x){i—x'){i—x^){i—x'y

et l'on a par conséquent

{i+xz){i-i-x'z) {i-\-x>z)...(i^x-z)... = i-\--f-. z-^, ^ -.z'-h...

328. Développement duproduit [i+œz] (1 4-a;'z) (i-4-a;'z).... Désignons ce produit par Q et posons

Si dans le produit Q on change z en x'^ z, il devient .- on doit donc avoir

l + XZ

En chassant les dénominateurs et égalant les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres, il vient

x + B, j:' = B,, B,jr'-4-B,x'=B,, B,:t'4- B, ;r'= Bj ,. . . ,

on en déduit

et par conséquent

329. Développement duproduit {\ + x) [\ + x*) [i + x^) {\-\-x*).... Si l'on désigne ce produit par R et qu'on y change x en x"^, il devient évidemment — ; — Si donc on pose *

un doit avoir

et en chassant le dénominateur pour égaler les coefficients des mêmes puissances de X, on trouve

1^ développement est par conséquent

(1) (i-(-ar)(i-(-x»)(i-f-x')(H-x')... =i-^x +x' + x' + x>-i-

On peut d'ailleurs arriver au même résultat en remarquant que le second membre représente > et que l'on a identiquement

I ' i+x (i+x)(i-f-x') (i-f-r)(iH-x')(i+^') I — X ', Ir^if' I — x' î — X'

ce qui, en supposant a? plus petit que 1, donne évidemment pour limite la formule (\j.

330. Nous rapprocherons des résultats précédents une formule très-remarquable due à Euler, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de X, le produit infini

Si l'on désigne ce produit par S, on a évidemment

^ Désignons par — A l'ensemble des termes qui suivent les deux premiers, c'est-à-

« dire posons

que l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par (i —x),

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la

* même puissance de x,

Posons

et par suite

que l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par i — x^,

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

Posons

et par suite

C = x"(i x')-{-X"{i — x^)ii — x')-hx^' {l — x'){i — x'){i — x')-\-...,

que l'on peut écrire, en effectuant la multiplication dans chaque terme par i — a;%

— X" — x"(i — X*) — x"{i —x'){t — JC>). . . ,

et en réunissant les termes qui contiennent actuellement en facteur la même puissance de X,

C = X" — ar" — x" ( ' — .ï^* ) — •'^" ( ' — ■^' ) ( ' — ^' ) —

Si l'on pose

on pourra transformer D comme on a transformé A, B et C, et en extraire deux termes

et en continuant ainsi indétiniment, on trouve

S= I — X — jr'4-x' — JC'-(-JC'= — x'* + x" — x*=-|- J^'' — a-"'-f-.r"— . . . .

Les coefficients sont alternativement -t- i et — i; quant aux exposants, pour en trouver la loi, il faut les considérer d'dbord de deux en deux, c'est-à-dire porter son attention sur les premiers termes des groupes de deux, successivement extraits (le produit: or on voit que dans la suite

les différences sont