II
progression par différence dont la raison est 3; il est facile d'en conclure que les exposants sont contenus dans la formule
On verra de même que les exposants
sont contenus dans la formule
In' — n
et la formule cherchée est enfin
(1 — j;)(i — a;')(i — x»)(i— x')...= I— JT — x»-f-.r' — j:'-+-x"— ...-hx ' — .r ' -+-...,
•'t, cette loi une fois connue, on vérifie bien aisément que les termes successivement fournis par le mode de raisonnement employé y sont constamment conformes. I. « 42
" 331. Puissance n'"""' d'une série. — Soit
une série convergente. La méthode des coefficients indéterminés offre le moyen le plus rapide de calculer les coefficients de la série qui en représente la puissance /^'■™'^ ^ * W Posons en effet
{■}.) («o + a, .r^-a2.^■^ .. +a/,ic'' +...)"= A„-f- A,. r -H A, .r'-h. .. ,
^ on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres,
'* (3) «(a„ + a,.r +... H- fl^ar''. ..)"-' («,H-2«,a^. ..+/'«'' a-/'-' +...)= A, H-aAjX+SAaX'-i-....
En divisant membre à membre les équations (a) et (3), et chassant les dénomina- # teurs, il vient
H ■ {ff„ + a,x + «2X^4-. . . )(A, + 2 Ajar-H. . . /jA^j:''-' -I-. . .)
= n{a, + 2a,x. . . -\- pa^xP-' +. . .) ( A»-!- A,J7 + A, jr'+...4-A^ x'' -4-. . .).
♦ En effectuant les multiplications indiquées et égalant dans les deux membres les
• coefficients des mêmes puissances de x, on obtient les équations suivantes :
A,a„ = wAoai, A,», + 2A,ao = 2 /i A„a2 -(- wA, a,, A, «2 -H 2Aiai + 3 A3 «0 = SwfljAo + snflî AiH-««i Aï, A, «3 + 2A2«2 + 3 A3 a, -h ^AiUo =: ^natAa + 3 ««3 A, + ■2na,A,-\- na, A3,
on en déduit
. «Ao«i , na^ho (n — i) . na,Ai, niii — 1) . A, = , A2= h ^A.a, = \ 5 — Ao«;,
«0 «0 2rt„ «„ 2a„
«0 Sa» 3a„
On pourra continuer les calculs aussi loin que l'on voudra et rattacher ainsi tous les coefficients les uns aux autres, en les faisant dépendre du premier Aq , qui reste seul inconnu. Or on voit en faisant a; = 0 que l'on a Ao = a". Le problème est donc résolu.
Si l'on se donne, par exemple.
X' 3 arc sm x = x + -jr -\- -f- x^ 6 40
(arcsm^)'=^^+3-+^+±^
ce qui s'accorde avec le résultat trouvé (303), mais la loi des coefficients serait difficile à obtenir de cette manière.
332. Nous devons donner ici un élégant théorème énoncé par Eisenstein et démontré de la manière suivante par M. Sylvester.
Lorsqu'on a formé les puissances entières et positives d'une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable a?, on peut en déduire facilement le développement d'une puissance quelconque.
Soit ( I ) M = A„ + A, X 4- A,x= -h . . . -f- \„.r" + . . . ,
on a
la différence (m — Ap) contient a; en facteur, par conséquent (a — An)' ne contiendra, toutes réductions faites, que des puissances de a; à exposant au moins égal à q. Si donc on veut chercher, dans le développement de m'", le coefficient de ce", on pourra négliger tous les termes de l'équation (2) dans lesquels l'exposant de M — Ao est supérieur à un nombre arbitraire n' égal à n ou plus grand que n, et si l'on désigne par B,„„, le coefficient de x" dans le développement de u'", on aura
B„,„ = mA;-'B(,,„,-H^li^LlliiA:--'{B.,„-2A.B(.,„))+... (3)
et n', dans cette formule, est assujetti à la seule condition de n'être pas inférieur à n. Le plus simple sera de supposer n' = n.
En adoptant cette supposition et réunissant dans le second membre les termes semblables, l'équation (3) prend la forme
R — ^n A—' r f i. {in — i){m — 2) ^ (aw — i)(/w — 2 )...(;« — w + QI B,„.„/nB„.„A. [^, („,,)+ i ,.,.3.. .(„.) J
mJ^n-iKm^^'^B ^A-'f. 1^ „ . (m— 3)(m-4) . (m-3)...(m-n-<-i)-| + — (B,„)A, |^,(m-3)-t- — dz ,,,...„3 J
m(ffl — i)...(m— w-f-i) ,.,
^ TTTm ^' " " ' •
OU, en sommant les coefficients placés entre parenthèses,
i> ij .m-t ['(2 — «0(3 — /?i)...(n— w
Si dans cette formule on fait m = — i, on obtient le coefficient de a;" dans le développement de - et l'on vérifiera aisément qu'il coïncide avec celui qui résulte de-là formule (320) déduite par M. Cayley du théorème de Lagrange.
333. Formule de Siirling.—^ oas déduirons encore de la méthode des coefficients indéterminés quelques développements célèbres qui seront utilisés dans la suite, après avoir été démontrés d'une manière plus rigoureuse.
La formule de Stirling, que nous allons faire connaître, est de la forme suivante:
-h AJi'y {x-^ h) — ^" {x)] + \Ji>[,f"' {x +■ h) — ^'" {x)]-+-. . . .
Pour que les deux membres soient identiques, il faut et il suffit qu'en les développant suivant les puissances de h, on obtienne de part et d'autre les mêmes coefficients. Cette condition fournit les équations
