in
[,f*"{x-hh)—^'"(x)]-
(^etle formule a d'importantes applications, que nous étudierons dans un autre chapitre, lorsque nous pourrons faire connaître les conditions de la convergence et les limites de l'erreur commise en s'arrètant à un terme donné.
334. Formule de M. Boole. — M. Boole a fait connaître une formule analogue à celle de Stirling, qui s'obtient facilement, comme la précédente, par la méthode des coefficients indéterminés; elle est de la forme
^(x + A) — ?(^) — A, /( y (x + /i)-\-f' i^)] •+- jWh'[<f"(x-\-/i)-h'f" (x)] + Sji'[^'"ix-\-h) + ,^"{x)]-h....
En égalant, comme dans le cas précédent, les coeflicients des mêmes puissances de h, et remarquant que f'{x) est facteur commun dans ceux de h, f"{x) dans ceux de h^, et ainsi de suite, on a
I 2 Al =0
Al — aAj = o,
De ces équations on déduit
A,= -> Aj^o, A,= — —-7\ 2 i.'^
Pour trouver l'expression du terme général, remarquons, comme dans le cas préfédent, qu'il est permis, sans changer les coefficients cherchés, de faire une hypothèse particulière, 9 {x) = e* par exemple; l'équation ( 1 ) devient alors
c'est-à-dire
e'(e*— i) = A,/te^(e*-+-i)-l-A,A'^(*'*-M)-+-. . ., ^î:=-i = A. /« + A, /l' -t- A, /i» -I- . . . ,
et par conséquent (305)
Si l'on pose [a; + h)=y, l'équation de M. Boole devient
335. Formules de M. Tchebitchef. — La méthode des coefficients indéterminés a conduit M. Tchebitchef à plusieurs séries fort remarquables. Supposons que l'on connaisse un développement en série de la forme
Proposons-nous d'en déduire le développement de/ (t) en série de la forme
(2) /(i) = A,F(i)+A,F(2)-hA.3F(3)-H... + A„F(n) + ----
Ce problème, dont les applications semblent au premier abord très-restreintes, a cependant une véritable importance. Pour le résoudre en général, et déterminer les coefficients A,, A^,..., A„, qui, l'équation (2) étant admise, sont indépendants de la forme des fonctions qui y figurent, remplaçons dans l'équation (2 ,
F(i), F (2), F(3),... parleurs valeurs déduites de l'équation (1), quand on y suppose successivement a?= i, a; =2, a? = 3, — On obtiendra une équation de la forme
à laquelle on satisfera évidemment en posant
on forme ainsi les équations
A, ^ I , o = Ai -I- I , o = A3 + I , o = A, -■(- A, + I , et l'on en déduit
La loi générale est la suivante :
Si n est premier, on a A„ = i . Si n est le produit de plusieurs facteurs premiers différents et en nombre k, on a A„ = (— i)*. Enfin lorsque n contient deux fois le même facteur premier, A„ est nul.
La démonstration de ces trois théorèmes est fort simple. Si n est premier, le second membre ne contient que deux termes enf{n), qui proviennent de A, F (i) et de A„F (n), en sorte que l'on a
et comme A, = i, on conclut
UVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. :r^
Si l'on a n = pqrs... kl, p, q, r... k, l, désignant des nombres premiers différents, le coefficient de/(n) dans l'équation (3) est la somme des coefficients A. dont les indices sont les diviseurs de n. Or on peut partager ces termes en deux groupes: ceux qui ont pour indices des diviseurs du produit/jyr...X-, et ceux dont l'indice contient le facteur /. La somme des premiers est nulle, parce qu'ils forment
le coefficient de/ {-[), déjà égalé à zéro ; il reste donc
A/ 4- A/,/ -4- A,/ + . . . + Ad/ + . . .-I- A ;,,,...*/= o,
D désignant un diviseur quelconque du produit pq...k. Mais si l'on admet le lliéorème démontré pour les coefficients dont les indices ont un nombre moindre de facteurs, tous les termes de cette équation sont précisément égaux et de signes contraires (sauf le dernier), à ceux de l'équation qui exprime que le coefficient de/{pqrs...k) est nul. Les derniers termes de deux équations doivent donc être de même égaux et de signes contraires; on a donc
et par conséquent, lorsque le tliéorcme est vrai dans le cas où n contient moins de n facteurs, il est vrai aussi lorsqu'il y en a n.
Supposons enfin « = «//",/) étant premier et différent de l'unité. En égalant a zéro la somme des coefficients dont l'indice est diviseur de ap^, on trouvera d'abord la somme de ceux dont l'indice est diviseur de a, et cette somme est nulle, puisque le coefficient de /(a) doit être égalé à zéro dans l'équation (3). De même les termes dont l'indice contient une seule fois p en facteur, ont une somme nulle, comme on le voit en écrivant que le coefficient de/{ap) est égal à zéro. Il en est de même de ceux dont l'indice contient p^ en facteur, et ainsi de suite, en sorte que l'équation se réduit à
A^ -f- Ay^^« -f- Ap^p« -f- . . . -I- A^^^m = o ,
D,, Dj..., désignant les diviseurs de a. Si donc on admet que A„ soit nul toutes les fois que n est le produit de //" par un nombre moindre que a, il sera nul nécessairement pour n = ap'", ce qui démontre le tbéorème, car il est bien facile de le vérifier pour n =/>"■.
Pour appliquer le tbéorème précédent, considérons la formule évidente
on en conclut
on a aussi
X X 2.x Zx ^x ' ^
on en conclut, en cherchant la valeur de pour x=\,
l{, — a) l(i-a') /(! — «') /{i — a')l(i—a') l{i—a')-l{,—a") I P. 3 5 o 7 lo
et par conséquent
^ {i — a){i—a^y{i — a"y'ii — a")~...
336. M. Tchebitchef a considéré également le cas où deux fonctions F {x) et/(x), sont liées par une équation de la forme
On peut encore dans ce cas exprimer /( i) par une série de la forme ^ê^
Pour trouver les coefficients, on remplacera dans le second membre F(i), F (3)..., par leurs valeurs déduites de l'équation (r), et en égalant à zéro les coefficients de /(3),/(5),/(7)..., et à l'unité celui de/(i), on aura
Al = i , A3-|-A,=o, A5-(-A,=ro, A,-|-Ai = o, Ao4- A3 + A, :=o , . . . .
En général, en désignant par n un nombre impair quelconque, il faudra égaler à zéro la somme des coefficients dont l'indice est un diviseur de n. On verra, absolument comme dans le cas précédent, que si n est divisible par un carré, on a A„ = o, et que dans le cas contraire, si n est le produit de A nombres premiers différents, on a A„ = ( — i)*, et par conséquent la série ( i ) devient
Théorie des /onctions génératrices .
337. La théorie des fonctions génératrices créée par Laplace a été exposée par lui dans son grand ouvrage sur le Calcul des Probabilités. L'autorité de son nom a contribué à faire adopter les définitions et les notations qu'il a employées; elles
sont aujourd'hui trop connues des géomètres pour que nous négligions de les indiquer et de faire connaître quelques-unes de leurs applications les plus simples.
Lorsqu'une fonction <p [ce] est développée en série ordonnée suivant les puissances de la variable dont elle dépend, et que l'on a
on dit que ç {x) est la fonction génératrice de A„.
Ainsi, par exemple, e* est la fonction génératrice de
Lorsque le développement de <p (ce) contient des termes affectés d'un exposant négatif, la définition s'y applique sans difficulté el o ( x) reste la fonction génératrice de A„, A„ étant une fonction de n qui, pour les valeurs positives ou négatives de l'entier n, représente le coefficient de a/* dans le développement. Lorsque la série qui représente 9 (a?) ne contient que des puissances positives de oc, A„ doit être considéré comme égal à zéro pour toute valeur négative de n.
338. 9 {x) étant la fonction génératrice de A„, '~r ^st celle de A„^p, et 9 {x)x''
celle de. A„p. Lorsque n — p est négatif, A„p doit être considéré comme nul, mais fe^ théorème reste exact, car dans le développement de f {x), les exposants de tous Tes termes sont positifs, et par conséquent dans celui de f{x).x'' ils sont tons plus grands quQp.
On voit tout aussi facilement que<p{x) (- — 1 j est la fonction génératrice de
A„+, — A„ ou A A„ , et il en résulte que 9 (a?) ( 1 j est celle de A^ A,„ f{x) l 1 j
celle de A' A„ , et en général 9 (a;; ( ! — 1 j celle de A^A,,.
En combinant ce théorème avec le précédent, on voit enfin que f{x)x''( 1 j
est la fonction génératrice de A'A„p.
339. Les remarques qui précèdent fournissent une démonstration simple d'un théorème remarquable relatif aux différences d'une suite quelconque de nombres.
Toute équation identique dont les deux membres sont des fonctions entières et
rationnelles de a;, - et ( - — » ) , reste exacte lorsque l'on y remplace les produits
de la forme x'' i~ —A ci — ("■—•) par A'A„pet A'A„^.p, A, désignant un nombre entièrement arbitraire.
Multiplions en effet l'équation identique donnée, par 9 (a:) fonction génératrice de A„, et, après cette multiplication, développons en série les deux membres de l'équation qui, par hypothèse, sont identiques. Les coerficienls de a:^ seront égaux
iSA-.
(le part et d'autre, et cela donne précisément le théorème énoncé, puisque ( 338
a^ i --^1 I (j5 [x] est la fonction génératrice de A^A,,.,,,, et -^ [ - — i ) oj (a;) celle
340. Nous nous bornerons à citer les applications les plus simples du théorème précédent ; on a
X XI' ^ xf-' I.?. xf-^ ^ '
,,+/ilZz:l) l,V+...+ I,V,
on en déduit
Ces deux formules, faciles à démontrer directement, sont l'une et l'autre trèsconnues, et nous avons déjà eu occasion d'en faire usage.
La formule suivante, donnée parLaplace, a aussi une grande importance. Posons
Le théorème de Lagrange donne
Xl" "^ 1.2 1.2.3
— ZZIZ
et comme d'après l'équation (3) on a a = a; ( ' — i J, cette relation a lieu entre x, - et (-— 'j; le théorème général peut donc être appliqué, et donne
Dans cette formule, A^, A,..., A„, sont les coefficients des puissances de x dans le développement d'une fonction quelconque; ce sont donc des nombres quelconques se succédant suivant une loi arbitraire; A|, A 2,..., A„..., sontégalement des nombres quelconques, car le développement de (p {x) peut contenir des puissances négatives de a;: on peut, si l'on veut, les supposer nuls.
La formule (i) donne
les termes dans lesquels l'indice de A est négatif devant être remplacés par zéro. Dans la formule (5), les facteurs A„, A„,,..., Ap, qui restent les mêmes pour une valeur donnée de n, ont des multiplicateurs qui grandissent indéfiniment avec k. La, série indéfinie formée par le second membre de (4) n'est donc pas convergente et doit être rejetée comme expression exacte de A„+p, mais elle peut cependant donner une approximation utile lorsqu'on se borne à un nombre limité de termes. C'est une circonstance remarquable commune à plusieurs séries divergentes, et dont nous donnerons d'autres exemples. La démonstration de Laplace n'est pas propre à la mettre ici en évidence, et nous allons, pour cette raison, en donner une démonstration plus directe, qui nous, apprendra sous quelles conditions elle est applicable.
