I.;i formule (4) devient, lorsqu'on y suppose /;= i

Pour l'établir directement, remarquons que l'on a, d'après les définitiofls des différences,

A.+, = A. + aA„,

AA„= A\„, +A^V„ , * A'A„, = A'A„,-f-A=A„~o

et l'on en déduit, en ajoutant et supprimant les termes communs,

Si donc A*+'A„;j est très-petit, on pourra regarder la formule (6) comme exacte, en se bornant aux k -+- [ premiers termes du second membre, et ne pas se préoccuper de la convergence de la série indéfinie.

Kn cliangeant n en n-\-\ dans l'équation (7), on a

Or on a, en remplaçant successivement dans la formule (7), A„, qui est une fonction quelconque de n, par AA„, AM„ , A' A,,,..., et en même temps n par n — 1 , n — ■?., n — ^,...,

et par la substitution de ces diverses expressions, l'équation (8) devient .\,+,= A. 4- 2AA„, 4- 3a' A„, 4- ... 4- a a* A„, . , ' H ,

310 PnF.MIERF PAHTin. CALCUL ni|-Fl':RE.NTlEL.

le terme R étant négligeable si les différences d'ordre supérieur à k" sont très-petites. Cela posé, si l'on admet que la formule

(9) a„.,=.a„+/..a„-, + /^^-.v„.+Hp:^0|/>+^),,,„„^...

soit démontrée exacte pour une certaine valeur de p, les différences d'un certain ordre étant négligeables, on peut prouver qu'elle est vraie, sous la même condition, pour la valeur immédiatement supérieure. En prenant en effet les différences successives de deux membres de l'équation (9), et diminuant à cliaque fois l'indice n d'une unité, on a

et en ajoutant ces équations, remarquant que l'on a

-A;i+^4-l =^ ^n+p ~i~ A A.,,+^, -f- a .\„(,^„2 -f- A Am^^3 -I- . . . ,

il vient, en ayant égard aux propriétés connues des coefficients du binôme,

la formule est donc générale.

34 1 . No.us terminerons en indiquant quelques applications simples de la ibéorie des fonctions génératrices. •

Problétne. — Trouver une fonction de x telle que l'on ait

(i) F(jr+/>)-HA,F(.r-|-;> — i)-h A,F(j-+/j— 2)H-. .. -h A^F (*■)= o,

p étant un nombre entier donné et x une valeur quelconque attribuée à la variable. Remplaçons x par un entier arbitraire n, on devra avoir

(2) Y[n-J!-p) + k,Y[n-V-p — \)-h .. . +\pV[ti) = o. Soit j la fonction^ génératrice de F(n), c'est-à-dire la fonction

(3) ^^.= F{o)-)-fF(i)-+-/'F(2)-f- ... +/"F(»)+---; le premier membre de l'équation (2) est la fonction génératrice de

Pour que cette expression soit nulle, il faut que dans le développoment de la (onction (4 ) il n'y ail pas de terme en t" \ n désignant un nombre entier et positif quelconque, il faut que le développement ne contienne que des puissances négatives de t. D'ailleurs il ne peut pas contenir de puissances négatives dont le degré surpasse —p, puisque le développement de j ne contient pas de dénominateurs, et par conséquent on doit avoir

donc

tP B. //" -4- B,/''— -+-... +B-

En développant/ en série ordonnée suivant les puissances de /, le coefficient de /"Sera une fonction de n remplissant la condition demandée et contenant p+i constantes arbitraires Bu, B,, ..., Bp.

Soit, par exemple, l'équation

Y [x + ■}.) — ■).aY[x+\)-\-\'[x) = o;

K ^«j a, d'après ce qui précède, pour fonctron génératrice

0—7.al->r\ '

(|ui, décomposée en fractions simples, prend la forme

(/— a-t-v'a»— i) (/ — a— v^fl'— i)'

or on a

;/ — « + V«'— ij (a— v'a'— ij L rt — v' rt'—i (rt-f-v'"'— ')' J'

\/ — « — Va'— I / a-^-sfa'— i L « + \/a'— i {a+y/rt'— i)'

en sorte que le coefficient de l'', c'est-à-dire la fonction cherchée F (x), est

tv.)- -^ r ! 1 iz r i__].

a — s/a'—i L(a— v/a'— ij'J a -hV"'— ' [(«-+- v'«'— < /J Si a est moindre que i et égal à cosy, on a

:COS<p + V — I sin<p,

cos^ — V — I sin f

a-\-<^a^ — I oos<p + v^ — isintp

= cos<p — v' — • siof,

:i42 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

el ¥{x) prend la forme

A cos.ry + Bsin xcp,

A et B étant deux constantes liées k C et à C et par conséquent arbitraires. On a en elTet

cos [(.r -f- i)^)-|-tpl + coscp = 2COs^cos(ar+ i ) ^,

et par conséquent, a étant égal à cos (p,

C0S{x-lr2)rf — 2a COS (x -f- I ) !)/ -f- COS » = O. 'Sh

342. Binct a fait une application élégante de la théorie des fonctions génératrices à la solution d'un problème de géométrie déjà résolu par Euler.

De combien de manières un polygone de n côtés peut-il être partagé en triangles par ses diagonales?

Soit ABCDEF. . . YZ, un polygone convexe de n+ i côtés. Désignons par P* le nombre total des décompositions possibles pour un polygone de k côtés. Dans chaque décomposition du polygone donné, le côté AB servira de base à un triangle dont le troisième sommet peut être l'un quelconque des points C, D, E, .... Y, Z. Au triangle ABC correspond évidemment un nombre de décompositions égal à P„, au triangle ABD un nombre égal à P„, P3, à ABE un nombre égal à P„2 P* et ainsi de suite. Tous ces groupes étant essentiellement distincts, leur nombre total est P„+, et l'on a

( I ) P„+,^ P,, + P3l\-, + \\ \\.-, ■ • • + P„-, Pe'-I- P;^t^ ^

Cette équation permet de former successivement les valeurs numériques de P4, P5, Po, ..., et d'en continuer le tableau aussi loin que l'on voudra; mais un artifice est nécessaire pour obtenir l'expression de P„.

Soit 9 [x) la fonction génératrice de P„+2 et par conséquent

(2) ^(a?)= i-HP3a7-f-P,.r'+ . . . P,.+iX"+. ..;

on aura, en multipliant la série par elle-même pour former '^[xf^

,5. ( j,-)==: . + .r ( l»,+P3)4-^'( p, + P3P, + P, )-Hxn Pb+ P,P3+ P3P. + P, ) + • • ■ ,

c'est-à-dire à cause de l'équation ( i )

,(,(j:)'— I +. P,a: -H PsX'H-PsX'-H . . . ,

ou bien, puisque l'on a évidemment P3 = t,

on en déduit

il faut prendre le signe — du radical afin que o (a;) soit égal à l'unité pour x=-o. On a donc enfin

c'est-à-dire, en développant le radical,

^^ ' :>. \2 2.4 2.4.0 2.4. . . an. (2«-f-2) /

et enfin