rt

OU, ce qui revient au même.

\ .1.6 ... n ( rt -H I )

on en déduit

i> — -Il

équation que l'on peut démontrer directement, comme l'ont fait MM. Lamé et Rodrigues.

Sur une notation symbolique.

3i.3. En faisant connaître l'expression de la n'^""" puissance d'un produit dans laquelle figurent les mêmes coefficients que dans la puissance /i'*""" d'un hinome, l Leibnitz a signalé d'une manière générale l'analogie (|ui existe entre les puissances et les différentielles des divers ordres.

Lagrange a développé cette idée en rapprochant à l'aide d'une notation symho- I tique plusieurs formules qui semblent au premier abord complètement indépen- F dantes.

Convenons de traiter l'expression A • -j- comme une quantité dont la puissance

n''""-, multipliée parç(a;), donne pour produit h" —r~^\ le théorème de Taylor pourra s'écrire de la manière suivante :

wj^

3il PUEMIKRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On vérifie aisément, en effet, qu'en développant e "■' suivant les puissances de l'exposant et ayant égard à la convention précédente, le second nombre devient % identique avec la série qui représente cp {ce -h h).

On conclut de la formule fi)

• Pour prendre la différence d' une fonction 9 {x), que l'on désigne liabituellement

par A 9 (a;), il faut donc multiplier symboliquement cette fonction par\e ''■' — 1 j ; il est clair d'après cela que, pour prendre la différence .seconde, il faut multiplier

symboliquement par \e ''' — 1 j , et que l'on a généralement

344. Lagrauge a eu l'idée d'attribuer dans la formule précédente une valeur négative à n, et d'écrire

mais il faut expliquer ce que signifient les deux membres de cette nouvelle formule et démontrer leur égalité. *

Pour éviter une difficulté qui se présenterait dans ces explications, remplaçons d'abord s {x) par une dérivée <\i'{x) ; écrivons donc '

Nous exprimons par le signe A"' l'opération inverse de celle qui est exprimée parle signe A, c'est-à-dire que A'* ^' {x) a pour différence '\>'{x,; de telle sorte que

A. A^'f (x) = A-' Af (a7)=,|/'(^).

Quant au second membre, il faut, pour l'interpréter, concevoir queie facteur

soit développé en série ordonnée suivant les puis.sances àe h — ei que, dans cette série, (^) <\i' {x) -soh remplacé par -~-~-

«» U\KE SECOND - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIi:. " 34S

Pour démontrer l'exactiluile de l'équation (i) entendue de cette manière, il faut faire voir que la différence du second membre, correspondant à un accroissement h de la variable, est4''(^)- Or la différence d'une fonction s'obtient, nous

l'avons dit, en la multipliant symboliquement par \e ''-' — i^ en sorte que t}*'(a;)

loil être multiplié successivement par les séries qui représentent

hl

g dr —

ete ^- I ;

le produit de ces deux facteurs se réduit évidemment à l'unité, quelle que soit la quantité représentée par /«j-. et il importe peu que les puissances de cette quantité, A ^-» soient remplacées plus tôt ou plus tard par des dérivées, le produit symbolique se réduira de même à l'unité, et l'on a

ie'^-.)

et par suite

OU

ce qui est précisément l'équation ( i). En remplaçant le facteur

par le développement qu'il représente, l'équation ( i ) devient

^■^^^=i[éy^'(^)-i^'i-)^'i

h d f (.r) __!}l £ •y(-g) dx I . ■>. 3o </x' 1.2.3.4

( T~) '^''^^^ ®*' **^' '* fonction dont la dérivée est tj*' {x), c'est-à-dire ij/ {x)\ on a donc enfin

Si dans les deux membres, x reçoit l'accroissement //, on aura, en égalant les 1. * * 44

accroissemonis qui en résultent et remarquant que celui du premier membre est, par définition, égal à ({/' (a;),

f et, par suite,

formule importante et déjà démontrée (333).

345. L'emploi des notations symboliques permet d'énoncer sous une forme élégante un théorème connu sous le nom de théorème d'Herschel, et qui donne l'expression du développement d'une fonction de la forme <p {e"") en série ordonnée suivant les puissances de x.

* On a, par le théorème de Taylor,

Si donc on pose

le coefficient A„ sera la somme des coefficients de a-" dans les développements des divers termes du second membre. Or on a

(2) (e' — I )P:=eP' — pe<P-''i'+^^ '' e(/'--')^ + . . . + ( — i)Pe'",

et dans le développement du second membre, le coefficient de ce" est évidemment

c'est-à-dire (340) 1 A'^'o"; on a donc

(3) A„= 1 ry(,).o" + ,p'(i)Ao» + ?^A'o"-h... -?^i^ A»o"l,

OÙ le premier terme qui est nul est introduit pour la symétrie. A"+'o", A"+^o",..., étant nuls, cette équation peut s'écrire symboliquement

(4) A„ = ïll±^^^. ^

Soit, par exemple,

on aura

et par conséquent

I To" Ao" A'o' , A"o" "I 1/-,] A„= }- ±: .

En comparant ce résultat avec le développement bien connu, on voit que l'exj)ression (5) est nulle si n est impair, et que si n est pair, le facteur entre parenthèses représente le n'''"' nombre de Bernoulli.

346. Nous ne terminerons pas cette indication rapide de l'emploi des notations

symboliques sans rapporter une démonstration remarquable de la série de Taylor.

Posons

f{x + /i) — y{x) = hD<f{x), et par suite

ç(;r + /. ) = (■-+- AD )t(x).

<f{x-{-nh) = ii-h/tDY<fix).

Kn posant nh — a, on aura

,(j;-|-a) = (n-/tD)*<).(x).

Si l'on suppose A infiniment petit et «infini, (i-i-/iD)''=e , et le signe I) de-

d dx'

vient équivalent dans cette hypothèse au signe -j-; on a donc

ce qui est précisément l'expression symbolique du théorème de Taylor. Digression sur les Nombres de Bernoulli.

347. Nous avons rencontré à l'occasion de plu.sieurs développements une suite de nombres connus sous le nom de Nombres de Bernoulli et dont nous indiquerons ici quelques-unes des propriétés les plus importantes. On a

318 PREMIËHE PARTIE. - CALCUL DIFFÉHEMU-L.

.Multiplions membre à membre cette équation par la suivante

Le produit des premiers membres étant égal à x, il doit en être de même de celui des seconds membres et par conséquent les coefficients de toutes les autres puissances de la variable sont égaux à zéro; on en conclut

.2.3. .2/t 1.2 1.2.3 ..[in — 2] 1.2.3.4

Ces équations déterminent B,, 83,... , B„; chaque inconnue se trouve même déterminée deux fois, mais les valeurs obtenues s'accordent, comme cela doit être ; on trouve ,

Il I I 5

348. Les nombres de BernouUi se sont présentés pour la première fois dans le calcul de la somme des puissances semblables des nombres entiers.

Nous montrerons d'abord comment ils s'introduisent dans la solution de ce problème. Posons

on déduit de cette équation, en la différentiant p fois,

'f[x) — C + 2" e-'-j- ... + (« — I j/- eC-' }',

et en attribuant à x la valeur zéro

^(Oj^^l-f- 2/' -1-3/'+. . . + («—!)''. .^

Or on a

fi" — I

Si l'on développe le second membre en série ordonnée suivant les puissances de X, <f{o) sera le produit du coefficient de xP, par i . j . 3. . ./7. Or on a

e" — I ifx n'x' n*x'

En multipliant ces deux équations, on obtiendra le développement de ■ - > et le coefficient de xP est, si/> est pair,

«/'+' I w B, HP-' B, «''-' , i

. 1 . —- . h. ■ • ifc »

et sip est impair,

«/--*■' I nf B, nf-' , 1 H'

On a par conséquent, si/> est pair,

i + 2''-|-3''-|-. . -)-(« — I ''= nP-\ pnP-'

f( si /; est impair.

nf*' I B 1 -t-a/'-l- 3' -H. . .+{« — iy'= nf-\ pnJ"-

-7:rîi/'(^-')"''+ • ^«£^^7

On lioiivc ninsi