La somme

que nous nommerons <pp{n), est un polynôme entier de degré (p -+- i) en n, qui jouit de plusieurs propriétés remarquables.

On peut exprimer <Pp(n) en fonction de (n — -), il ne contiendra alors que des

puissances paires, si /^ est impair, et des puissances impaires, si/? est pair. (pp{n) est eu effet, à un facteur numérique près, le coefficient de af dans le développement

Si nous désignons cette fonction par 4'(^)' '^ développement de la fonction <^{— x) que l'on obtient en changeant x en — x, ne diffère de celui de 4'(^j que par le signe des termes de degré impair. Si donc/? est impair, le coefficient de x^ est le même que dans le développement de la fonction

Or cette fonction ne change pas si l'on y remplace n — ~ par —(« — -), le coefficient de i^.dans son développement suivant les puissances de x, est donc une fonction paire de « — -•

Lorsque p est pair, le coefficient de x^ dans le développement de i|> {x) est le même que dans le développement de la fonction

;: = -zr. — r + tt^ — r = -.. : 1- ' .

et comme la partie variable de cette fonction change de signe sans changer de valeur quand on y remplace « — ^ par — (^ n — ;^ j , il en est de même de tous les coefficients de son développement suivant les puissances de x.

Il est donc prouvé que <fp{n) est une fonction paire de n — ~, lorsque p est impair, et qu'il est une fonction impaire, lorsque/» est pair.

350. Si dans la fonction 9p(/i) on fait /i = -, on a, lorsque p est pair, it lorsque/) est impair,

*' (î) = -fer ' B^ (^^F^ ) •

Pour le démontrer, rappelons de nouveau que fp{n) est le produit par i.2.../>, du coefficient de a:^ dans le développement de

( - I est donc le coefficient de — — 5 dans le développement de

Or on a

XP

da

Maiv

[■>. I 2 r X B, /xV B. {x\*

■>■ ■>.\ X -\ il X ^ B, , B; ,

(f — I X Le* — ij x\ 2 1.2 1.2.3.4

III retranchant l'un de l'autre ces deux développements, on formera celui de

xf

— » et l'on verra que le coefficient de est nul si p est pair, et égal à

si p est impair. C'est précisément le résultat que nous avions annoncé.

351. Les (onctions 'fp(«) et fp^, («) peuvent se déduire l'une de l'autre par la dillërcnliation, mais la forme de la relation n'est pas la même lorsque/? est pair et lorsqu'il est impair; on a» les deux formules suivantes :

d.<fyi{n\ , ^ , ,„ ,,.

dn = ''/^?7'-' (») + ( — 'K-'B/.-

Pour démontrer ces formules, considérons l'équation En différentiant les deux membres par rapport à n, on a

xe" dii, x'' dtf2 xf da.

e' — I dn 1 .% dn 1 . 2 . 3 . . . p </«

Mais on a identiquement

^f,nx gnx , X r , . X^ , , Xf ~\

xe' e

et en identifiant ces deux développements qui représentent la même fonction, on obtient les deux formules

d.<f;p+,{n) dn -~

352. Les formules précédentes permettent de démontrer un théorème imp.orlanl : Lorsque n varie entre les limites o et i, la fonction f^pi^) change une fois de signe

en s' annulant pour /i := -? et la fonction f-ip+i {n) conserve toujours le même signe.

Remarquons d'abord que fp{n} est toujours nulle pour les valeurs extrêmes n=o, rt = 1 ; en effet, la fonction .

se réduit à l'unité pour « = i , et à zéro pour n = o, les coefficients des divers termes de son développement sont donc nuls dans ces deux hypothèses. Cela posé, considérons d'abord la fonction

lorsque n varie de o à i, cette fonction reste toujours négative, et son maximum, correspondant à « = -> est

Considérons ensuite

On a

dn

== «'— /i-l-g = 2ip, (n) -hB,,

y, ^.li) variant de o à — i;; puis de — g à o, lorsque n varie de o à -, puis de - à i,

^, , nasse de 4 à 4 — 4 ou ^» et de à + rr» elle est donc nulle deux fois

dn ■ 664 '2 12 o

seulement dans cet intervalle, et par suite l'équation 9j(n) = o ne peut avoir dans

le même intervalle que trois racines, qui sont n = o, n =-,/*= i.

Démontrons maintenant le théorème général. Admettons pour cela que la fonction 92p, (n) satisfasse à la condition énoncée, c'est-à-dire qu'elle reste toujours de

même signe lorsque n varie de o à r, et que le maximum corresponde à la valeur -,

la fonction croissant d'une manière continue lorsque n varie de oà -» et décroissant

ensuite lorsqu'il passe de - à l'unité, de telle sorte que la courbe qui a pour équation

ait la forme suivante

Ola posé, nous avons

dn

;2py,,,(/»)4-(— i)'-'B,..

Il est évident que cette dérivée, d'après la forme de la fonction y,,., (n), ne peuls'annuler que deux fois entre les limites n = o, n = i, et par suite la fonction ?3p('») étant nulle aux deux limites ne peut pas avoir plus d'une racine intermédiaire.

Cette racine est, comme on l'a vu, n = -: la fonction, nulle pour «=0, n =: - et

35 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

n — i, étant (349) une fonction impaire de n — -, change de signe pour« =,-,

et la courbe dont elle est l'ordonnée a la forme suivante

présentant un seul maximum entre n = o, n = -■, elun seul entre n = -, /i — i ,