FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE
Définition d' une fonction imaginaire.
359. Lorsqu'une fonction y(z) est donnée pour toutes les valeurs réelles de la variable z dont elle dépend, elle n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z par une expression imaginaire a; -t-j y/— I : l'expression, ç (a;-+-jV~')» ^^ peut donc s'introduire dans les calculs ou dans les raisonnements, sans une définition précise qui, pour toutes les valeurs réelles de x et dej, en fasse connaître la partie réelle et la partie imaginaire, en permettant d'écrire
.r+jV'— O^P-HQv'"
P et Q étant deux fonctions réelles connues de a; et de j..
11 ne faut pas croire cependant que les deux fonctions P et Q puissent être choisies arbitrairement; toute expression de la forme
P + Ov'-i.
où P et Q sont des fonctions de x et de y, n'est pas une fonction de x-\- y\j — i ; pour la considérer comme telle, on exige une condition sans laquelle disparaîtrait toute analogie entre les fonctions imaginaires et les fonctions réelles; pour que la somme P-t-Q\/— ' soit considérée comme une fonction de x-\-y\l— i , il ne suffit pas que cette expression soit déterminée lorsqu'on se donne x et y, il faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée et que le rapport de son accroissement infiniment petit, à l'accroissement correspondant dx-^ dy\/ — i de la variable, soit
indépendant du rapport arbitraire -p- Si l'on voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonctions imaginaires serait simplement celle des fonctions de deux variables et leur étude spéciale n'offrirait aucun intérêt.
360. Lorsqu'on attribue à a; et à j les accroissements infiniment petits dx et dy, l'accroissement de P 4- Q V — > est
dV dï> 1 IdQ, dQ,\ l'dP , dQ\, idV , dq\.
dx
Pour que le rapport de cet accroissement à dx-^dy\ — i soit indépendant de -^^i on
doit avoir
dx dx sj — I
et l'on voit, après avoir chassé le dénominateur, que cette équation équivaut à deux autres
rfP rfQ dV dQ .dx dy dy dx
Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes, d'après notre définition, pour que P+QV — ' soit une fonction de x-h-j^^ — 1 ; lorsqu'elles sont satisfaites, on a
d.jP+Q'^^^} dP Jzi-^ — ^^JZiri^-
cl{x-i-x\/'^^j ~ dx ^ ^ dx~ dy '* '</,>'
on en conclut que 9 {z) désignant une fonction quelconque de la variable imaginaire z égale à x-{-y\ — i, et y'(z) étant la dérivée de f{z), on a
Ces équations pourraient être écrites à priori comme conséquences de la règle de différenliation des fonctions de fonctions, s'il était permis d'invoquer cette règle avant d'avoir constaté l'existence d'une dérivée déterminée et indépendante du rapport des accroissements infiniment petits attribués a x et a y.
361. Les équations du paragraphe précédent qui lient l'une à l'autre les fonctions P et Q, permettent d'éliminer l'une d'elles et fournissent une équation importante à laquelle l'autre, considérée isolément, doit satisfaire. En ajoutant ces écjuations après avoir différcntié la première par rapport à a; et la seconde par rapport à y, on trouve en effet
</'!• rf'P ■5?"^ dy -"'
et en les retranchant après avoir différentié la première par rapport à j et la seconde par rapport à j;, on a
rf'Q rf»Q
dx ' ny'
Ces conditions imposées aux fonctions P et Q expliquent comment une fonction ima-
ginairc possède, ainsi que nous le verrons, un grand nombre de propriétés trèsprécises et indépendantes de sa définition; il ne faut pas en effet, on le comprend dès à présent, attacher à une fonction imaginaire quelconque, l'idée d'une indétermination aussi complète que celle d'une fonction réelle quelconque. Pour chaque valeur de la variable, une fonction réelle peut être choisie arbitrairement, et les seules restrictions auxquelles sont soumises ses variations sont celles qui résultent
de la loi de continuité; la partie réelle et le coefficient de \[— i dans une fonction imaginaire sont assujettis au contraire à des conditions très-précises exprimées par les équations que nous venons d'obtenir et d'après lesquelles chacune d'elles représente l'ordonnée d'une surface qui, loin d'être arbitraire, appartient à une classe toute particulière dont on conçoit fort bien que l'on puisse étudier les propriétés sans avoir besoin de rien préciser davantage.
362. Il sera utile d'exprimer les conditions nécessaires pour que la somme
où P et Q désignent les fonctions des variables jS et w, soit une fonction de
p(cosw-t-y' — isinw).
Si l'on change j5 en p -\- dp, et w en &) + c?m, l'accroissement de P + Q V— ' est
</P , dP . ' , l'dQ j dQ , \
a^'dm \ dp '</(.> /
l'accroissement correspondant de la variable est
rfp(cos w + v' — ' sin m) + p</w (■ — sin w -t- y — i coswj.
Pour que le rapport de ces deux accroissements soit indépendant de ^» il faut et il suffit que l'on ait
c?P , dÇ\ dP , dQ
ap dp aw d 01
cosw-f-v' — isinw pf — sin w -J- v' — icos«y
en multipliant par /j v'— i les deux termes du premier membre, les dénominateurs
deviennent égaux, et l'on a, en égalant les parties réelles des numérateurs, et les
coefficients de V— i ,
dP dQ ° dp ~~ diï>^
dQ__dP dp du)
lelles sont, d'après nos conventions, les conditions nécessaires et suffisantes pour que la somme P-hQV— i soit une fonction de p{cosrù-h\/— i sin w).
363. Les conditions précédentes sont les seules qui soient imposées aux fonctions imaginaires, et pourvu qu'elles soient remplies, la définition reste entièrement arbitraire. On conçoit cependant qu'une fonction imaginaire ne s'introduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'elle sera réellement la généralisation de la fonction réelle de même nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose y = o, et qu'elle partagera ses propriétés caractéristiques. Cette analogie, regardée à priori comme une condition essentielle, est la base des définitions que nous allons donner <le quelques-unes des fonctions les plus simples.
36i. Les propriétés générales des fonctions réelles doivent aussi s'appliquer aux fonctions imaginaires; les définitions doivent être telles que cela ait lieu, et si cette condition impliquait contradiction, la théorie des fonctions imaginaires devrait être abandonnée comme inutile. C'est pour cela, par exemple, qu'une expression déterminée lorsque a; -h- y\/— i est donné, ne reçoit pas cependant le nom de fonction de x-^y y/— r, si elle n'a pas, par rapport à cette variable, une dérivée déterminée. Rien ne s'opposerait certainement à ce qu'on lui accordât ce liom, mais cela aurait l'inconvénient d'éveiller par analogie des idées inexactes.
Parmi les théorèmes applicables également aux fonctions imaginaires et réelles, nous nous bornerons à citer le suivant :
Deux fonctions imaginaires qui ont même dérivée, ont une différence constante.
Soient
« = p + QvCr7, „, = p, 4.Q, yCrr,
les deux fonctions considérées. D'après les résultats obtenus (360), les dérivées de u et de u, étant égales, on a
dP^dP, fJQ (fQ, dx dx dx dx
rfP rfP, dQ dQ, dx~ dj^ dy~ dy '
et ces équations prouvent que les dérivées des différences P — F,, et Q — Q,, par rapport à X et par rapport à j, sont égales à zéro; ces différences sont donc indép<-ndantes de x et de/, et par conséquent constantes.
Défuiitkm de quelques fonctions simples.
365. Définition de z"" lorsque m est entier. — On est conduit, dès les éléments, à remplacer dans la fonction z", la variable z par x + y^j— r; on a, en appliquant la
3r,6 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
formule du binôme qui, dans le cas de l'exposant entier, résulte des règles de la multiplication,
m(OT — i) „, , , m{ni — i) {m — 2) (m — 3)
I r m (m — t)(ni — 2 ) , "1
Il est aisé de voir que cette expression remplit la condition précédemment exprimée, et que la dérivée de z'", par rapport*» z, est mz'"-' , précisément comme dans le cas où z est réel. La démonstration repose en effet (26) uniquement sur le développement de (z + A)'", qui s'applique sans modifications au cas où z et A sont imaginaires.
La même conclusion s'applique évidemment à une fonction entière quelconque de la variable z, et toute expression de la forme
(1) Az^-t-Ai^^-'+Aj^"-^ +. . .-I-A„,3-I- A™,
où A,, Aj,..., A,„, représ'entent des constantes réelles ou imaginaires, est une fonction de z qui a pour dérivée
• mAz'"-'-^-{^n — l)^,z'"-^-\-...+ K,.
Si le polynôme ( i ) est remplacé par une série indéfinie, on avu (262) que, pourles valeurs de la variable qui rendent la série convergente, la série des dérivées est elle-même convergente et représente la dérivée de la série. Nous pouvons par conséquent étendre nos conclusions aux séries convergentes ordonnées suivant les puissances de la variable. C'est la une remarque très-importante et qui, lorsqu'une fonction réelle est développable en série convergente, permet, comme nous allons en donner des exemples, d'en étendre la définition au cas où la variable est imaginaire.
366. Définition de e^ . — La fonction e^, lorsque z est réel, est représentée par la série toujours convergente
