Il

En remplaçantz paraT+jV — i, on forme l'expression

I I \ {x -\-Y v' — 1 i " ix-'ry^ — iY '

I +(jr4-jV— i)-^^ i -i 4-^ , .2 3 +•••'

que nous prendrons comme définition de e'^W-' . Il est facile de sommer cette série et d'en trouver la partie réelle et la partie imaginaire. En développant en effet les

puissances de {x+ysj— i) qui figurent dans les différents termes de la série, et réunissant dans ces divers développements les coefficients de — — , , on trouve

La partie réelle est

cosj^-,

et la partie imaginaire,

1.2.3. ../;\ ^-3 1.2.3.4-5 '""/ i .1.3. . . p le terme en a:^ est donc

■I sin >

(cosj+v/ — 1 sinj),

et la série (1) se réduit t

( ODS X -h \/— I sin/)' ( i-f- jr H (-..• +

xi"

cos/-

sinj;

on a donc enfin,

«'+■/''-• = «' (cos7+ v' — ' sinj).

On peut remarquer que dans la démonstration précédente les termes de la série considérée ont été intervertis, mais, leurs modules formant une série convergente, cela n'a aucun inconvénient.

367. La fonction e' étant, d'après la définition même, représentée par une seule et même série pour les valeurs réelles ou imaginaires de ;;, une seule et même série représentera aussi les dérivées dans les deux cas, et il en résulte que l'équation

Je»

s'applique aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de z. Il est d'ailleurs liien facile de vérifier directement que l'expression

e'(cos/-(-V — ' sinj)

satisfait aux conditions données (359) et qu'elle est égale à sa dérivée. On peut aussi vérifier la formule

qui a lieu pour toutes les valeurs des exposants z et u. Le succès de cette vérification ne doit d'ailleurs causer aucune surprise, e^ et e" étant en effet représentés par des séries telles, que l'équation (2) soit identique quand les variables sont réelles, il est tout simple que cette équation reste vraie quand on substitue à x des expressions imaginaires quelconques. ,

En supposant x^=o, on a

et en changeant/ en —y, on déduit de ces formules

e'' ~' — cosr4- V — I >iii\j;

e~f ' = ces y — \/ — r siii ^ ;

COSJ =

sm j =

368. Déjinilions de sin z et de cosz. — Les fonctions âinz et cosz sont représentées, lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes

cosz =: I

En remplaçant z para; -Hjv — i » on aura deux séries, toujours convergentes aussi, que nous adopterons comme définitions de sin (a; + jv'— ') et de cos(a; -^ y\j — i)- Il résulte immédiatement des définitions de e"^, sin 2 et cosz, que l'on a pour

toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z

cosz + y/— I sinz, "''^= cosz — v^ — r sinz,

et, par conséquent,

cosz = —

suiz =

ay' — <

Os formules periiieltent de calculer, sans recourir aux séries, la partie réelle et la partie imaginaire d'un sinus ou d'un cosinus quelconque. On a

oos \x ->r rv — I ) = ^= cosa; h V — I sina: ?

sin(,a: + /v'— i) = ; = V — ' cosj: ^ + smj: •

Si l'on supj)ose x = o, ces formules deviennent

cosysj — I siji >V— ' ■

on en conclut

cos(x + r^ — i) = posa;cos/v'' — ' — sinxsin^^V — •>

sin(jr-f- r^— • ) =sina?cos//^ -t- cosjr sin^^v' — ' • (^s deux formules sont d'ailleurs des cas particuliers des formules plus générales

cos( « + f) = cosu cosv — 'A\nu sinf, sin(« -f-t')='sinHcosi' + sinf cosM,

qui ont lieu pour des valeurs réelles ou imaginaires de u et de «'. On peut vérifier

aussi la formule

(5l sin'2 + cos* z = I,

<|ui résulte des équations f i) et (jui, combinée avec les équations (4). permet d'étendre au cas des variables imaginaires les formules principales de la trigonométrie.

i.a forme des séries qui représentent sinz et cosz montre enfin que l'on a pour les valeurs imaginaires comme pour les valeurs réelles de s *

rfsinz

dz dcosz