t- p ces Hf

l'arc défini par sa tangente devant être compris entre — - et -h -• En introduisant

la même valeur de z dans la série et égalant les parties réelles et les parties imaginaires, on aura

-l(l -hp'+ 2pC0SiJ>) = pCOSy — ■i--C0S2(|)+ \- C0s3(p — . . . ,

psin» . P^ • , p' ■ o

arc lang — = psin» — ^ 51020 -t--^sin3tp — . . .;

en supposant p = 1 , et remarquant que

■i.-\-1 COScp = 4 cos' - <p,

sintp

on a donc

arc lang — = — \- k ix,

" I + COS(p 2

I , , I C0S2ÎI C0S3o , COS/lï»

-14cos'-^ = coscp--^+^-----±-^.+ .

sin2((> sinSif , sinnij»

i -)- Att = sinç —

le nombre entier k étant tel que le premier membre de la seconde équation soit

compris entre et + -• Si ç est compris lui-même entre — ;: et + n, on doit

prendre k= o, et l'on a

siii2<f. sin3o siii/Jv

Sllly —

On voit que si ç augmente d'une manière continue, la série qui forme le second membre change brusquement au moment où l'on a y = n.et la somme passe d'une

" valeur infiniment peu différente de-, à une valeur un peu supérieure à — -- D'après

ce qui a été dit (264), les dérivées des termes de la série doivent, pour cette valeur de ç), avoir une somme infinie; c'est ce que l'on vérifie aisément, car ces dérivée» .se réduisent, pour y = n, à

et leur somme est effectivement infinie.

Si dans les formules (4) on suppose p = — i, elles se réduisent à

sin' - (p = — [cosf ■

cos2<(i ros3«p

arc

tang 1 — col - (f j = — ( sin <p -

sinsf

sin 3 7

l'arc dont la tangente est — cot - y , est ^ — - + kn, k étant un nombre entier déterminé, puisque l'on sait que l'arc est compris entre — - et -f- -• Si ff est compris ntre o et 271,'il faut prendre A = o, et l'on a par conséquent, pour de telles valeurs

de 9,

fr V I I

= sin» H — sin2»-|- ^ sinS»

•il ^2 ^3 '

formule déjà obtenue (301) par un procédé très-difl'érent.

383. Les formules (6) et (8) étant vraies toutes deux lorsque 9 est compris ••ntre o et n, on peut les ajouter, et l'on en déduit la formule remarquable

^=2^sin,

sin3q

sinSf ~5~

(|ui :i lieu pour les valeurs de y comprises entre o et ti.

Si Ion change 9 en —9, le second membre change évidemment de signe sans

< hanger de valeur et devient égal à — -» et comme il ne change pas lofscpio 9

38i PREMIÈRI': PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

au^MiiPiitc df 2 7r, il en résulte que, pour toute valeur de 9, la série

sin3îp sin5(i/

Sllli)'

est égale à ± ?• le signe + correspondant au cas où sirnp est positif et le signe — an cas où il est négatif. Lorsque <p est un multiple de n, tous les termes deviennent nuls et la formule est en défaut. Si l'on suppose '^ = ", on a

^rniule connue de Newton.

• Développement de (i -t-z)'".

384. La fonction (1 + z)'" est développable en série convergente lorsque s est réel et moindre que l'unité en valeur absolue. On a alors

mi m — 1) , m{m — \)..Am — « -|- i )

Admettons ici comme exacte pour les valeurs imaginaires de z, cette série, qui, bien entendu, sera démontrée plus tard, et nous allons en déduire des conséquences remarquables. D'abord, d'après les explications qui ont été données (378j, il ne faut attribuer à z aucune valeur dont le module surpasse l'unité; de plus la fonction (1 -t-z)", représentée par la série, étant continue et égale à l'unité pour z = 0, nepeut prendre que celle des valeurs de (n-z)'" qui a été calculée (376). Si l'on pose

z = p (cosç + v/ — I sintp), p étant plus petit que l'unité, la valeur de (i + z)'" qu'il faut adopter, est

a'" (coswo)-^ v'— 'sinww) OÙ

p' = V I -l-p'-l- 2pcosy,

•" psin»

tangw = — !— — '- — 1

1 + pCOSo

p' étant positif, et w compris entre et + -• Si l'on suppose p = i , on a

p'==^4cos=^,=±(^cosi,),

lang»)= tang- o,

il. par suit^,