W = — O A" TT
A étant un nombre entier, déterminé par la condition que o), soit compris entre
et H — *
On a donc i^
(a) ( \/ 4 cos' - (f> I jcosml-ip — kis\-+- y/ — i sin m (- i> — ''")
= I -H wi cosipH ros27 + . . .-f- V — ' «'"f H sinaf-l- ... h
-ç—^jr étant compris entre — -et -t- -? et ( t/4cosV-i)> ) étant réel et positif.
En
égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres de l'équation précédente, on a
4 cos' - f I cos m [-f — Ajt 1 =i-f-«»cosifH cos aç
mi m — i)(m — 2)
•cos3?-i-. . .,
, , I \ . / 1 , \ . ' ni{ni — i) . 4 fos' - tp I sin/;i I -y — /.TT I =/nsinipH sinay
mfm — i)(m — 2) .'4
et, lorsque ^ est donné, ces équations ne présentent, d'après ce qui précède, aucune ambiguïté, car - f — kn étant compris entre — ;^. et -i- -i - est compris entre
/- - - et / - -f- -) ce qui, pour cbaque valeur de 9, détermine le nombre entier k.
Si l'on veut y remplacer ( 4/4 cos'-» |, qui est toujours positif, par la valeur
>i,s .;, il faut le faire précéder du signe ±.. '
.\Joutuii.s les dciîx écjuations (3) après avoir iiiulliplié la première par cos« et la •^'•«■onde par sina. a étant un angle arbitraire, nous aurons
I ±. i cos -<f \ cos ( a — m '- 4- mh n j = cos a + ni cos; a — f)-\ COS( X — 2y) -+-... .
si Ton pose o = 2,r, on a
/ . , , , nilin — 1) , , , i4) ;±2C0SX)"C0s(a — OTJf4-/nA-w)=COSa-|-»»COS{a — ix)-\ r— COS(a — ^x)+ . . .,
±. acosx étant toujours pris positivement
Si l'on suppose a — mx, la formule {\] <lfvienl
ni! III — Il ' ±: icosjr)" cosw/rir = cosmx-t- wcos' //( • »-(-■- cos, m — aij:-+-...,
et si l'on suppose a. = mx -f- 5 il vient > •
(6) (±TiCosx)"'s\nmlxT:=s\\\mx-^msin{m — 7.)x-\ ~- sin(m — ^)x + . ■ .,
X étant compris entre Att — - et kn-h-, dans les premiers membres des formules (3 et G') pour que diacosa; soit positif, il faut adopter le signe + si A: est pair et le signe — s'il est impair.
Si dans l'équation (4) on pose a = mx', x=. x' -, et que pour la symétrie des
formules, on change dans le résultat x' et x, il vient
, w 1 . . //A I , mlm — i) , ,,
(7)(±2sma;]'"cosw I A-i-- W = cos/na? — mcos(/« — 'i.)x -\ ^ cos(/n — \)x-\-...,
et si l'on fait a = mx' » x^^x^ > en changeant toujours x' en x dans le résultat,
/<!>/. . N . (i '\ • • / < mim — i) . , ,,
(8) (±2smj:)"sm/nl A-f--)T = sinw.r — msin{ w — 2).r H ^ sm(w — 4)-^ -H--..
♦ Dans ces formules x est un arc arbitraire compris entre A:7t et (^-i- i) n, et k un
nombre entier quelconque. ( rt -.isina;) doit être positif, et l'on doit par conséquent
prendre le signe + quand k est pair et le signe — quand il est impair.
Euler et Lagrange avaient donné la formule
(9) , (2 cos.r)"' = cosm.r + m cos(ot — 2).r-|-...,
que l'on avait acceptée sans discussion. Poisson futlepremier à signaler l'impossibilité de l'équation (9) en remarquant que l'hypothèse m = -, a; = ti, la rend
manifestement inexacte; le premier membre devient en effet — y 2, et le second se réduit à
TT
