DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Extension du théorème de Taylor à une fonction de deux variables.

391. Lorsque dans une fonction de deux variables (f{x, y), on remplace x par a; + A et j par j-f- ^, le résultat de celte substitution (^ [x -\- h, y -^ k) peut être développé en série ordonnée suivant les puissances de A et de A et leurs produits deux à deux. On peut en effet développer d'abord (^{x-hh, y) en série ordonnée suivant les puissances de h, puis dans le résultat changer y en y-^kei développer chacun des coefficients en série ordonnée suivant les puissances Ae k; on obtiendra ainsi le développement de <f[x-^h,y-\-k), et le théorème de Taylor, borné au cas d'une seule variable, permettra d'effectuer fous les calculs. Telle est la marche suivie par Lagrange dans la théorie des fonctions, et dont il déduit aisément l'expression du terme général du développement; mais un artifice imaginé par Cauchy permet de l'obtenir plus rapidement en fournissant en même temps une expression plus simple du reste.

Remplaçons (f [x -\- h, y -{- k) par (f[x-\-ht,y-\-kt) et appliquons à cette dernière fonction le théorème de Maclaurin pour la développer suivant les puissances de t; en faisant dans le résultat ?= i, on obtiendra le développement cherché.

En posant

on a (273)

(x) ^[x -^ ht, r+ki)=Y [o)-^Y' [o)t ^Y" (o) — ^ \ ^""'^"^ <«-.+F"(eo— '-^^

Pour calculer les termes de ce développement, formons l'expression générale de F^(it).Ona

Y{t) = ^{x + la, x+lit).

Or, si l'on attribue à / des accroissements successifs égaux entre eux, x-\-htei y-\-kt, considérés comme deux variables distinctes, croîtront aussi par degrés égaux, et la formule donnée (162) pour représenter la différentielle n''"" d'une fonction de deux variables, sera applicable au calcul Aed"Y{t). Cette formule suppose, en effet, que deux variables quelconques, u et c, reçoivent simultanément des accroissements constants et quelconques du et dv; or, en supposant ici x-{-htz=u.

Y-\-kt = v, et prenant du = hdt, dv = kdt, la différentielle dP<^{u,v) ne différera pas de la différentielle d''V[i) qui répond à l'accroissement dt de la variable/ répété/» fois; on a donc (162) symboliquement

les produits de la forme

^duj \dv )

de a

devant être remplacés après le développement par ^.1 -t

En divisant par dt^ les deux membres de l'équation (a) et ayant égard à ce que, par hypothèse, du = hdt, dv = kdt, on en déduit

dfV (d^ df ~\du

la même convention étant faite, bien entendu, sur la signification des puissances des dérivées.

Lorsque dans les dérivées de la fonction (f[u,v) par rapport aux variables// et V, on supposera t=o, elles ne différeront pas évidemment des dérivées correspondantes de (f {x,y) par rapport à a; et à j; on a donc enfin

(d^\(dy, \ dtP )r \dx "

d dy

en entendant toujours qu'après le développement du second membre tout produit B < I d^o rfc-*» 1 •. .. , . dPo

I *®* ^"® rfP IÇ^ ^"^'^ *^''® remplace par j^pr^k'

Le facteur Y"[Ot) qui figure dans le dernier terme de l'équation (i), s'obtiendra aussi à l'aide de la formule (3). Après avoir formé l'expression

et effectué dans le résultat les substitutions qui doivent être faites, on devra remplacer dans chaque dérivée, u par a? 4- 5 Af, et v par j -4-5 A/; on peut donc écrire symboliquement

xet j devant être remplacés, dans le résultat, para;-HÔA/, y-h$kt, qui deviendront

x-\-^h, y-hOk, lorsqu'on fera /= i .

392. D'après les explications précédentes, on a, en faisant /= i dans la formule ( I ) du numéro précédent,

[dfi da ,\ I /r/=-j; , d--j ,, d'(f,\

/r+ 3 -;Vt- A'/. -+- 3 -4—f-. hl,^-h ^ k'