dx' dx'' dy dx dy' dy

l...{n—j]\dx"-' ^ ' dx'^-'dy dy"-' J

df , d 'I

\ .1.3.. . n \dx dy ' J.c=x-i^eh^

y=r -r'jh

le dernier terme étant ce que devient le {n -¥- \)'^'"^ terme de la série, lorsque, après l'avoir régulièrement formé, on y remplace x par x -ir Oh et j par j + Sk. Q étant un nombre plus petit que l'unité.

Lorsque, pour des valeurs croissantes de n, le dernier terme du second membre tend vers zéro, il est permis de remplacer ç)(a; -t- A, j -h k) par une série convergente indéfinie. On peut remarquer que cela aura toujours lieu si, lorsqu'on remplace x par x -\-$h et j par j + Bk, aucune des dérivées de la fonction ne peut devenir infinie. Si, en effet, toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du terme complémentaire sont plus petites en valeur absolue qu'un nombre H, ce terme est évidemment moindre que

[ii + hy.

expression qui tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

393. Si, dans le développement que l'on vient de trouver, on remplace h par dx et k par dy, l'ensemble des termes de degré p par rapport à rfa; et à dy représente d'' o, et l'on a

<^{x +dx, y ^ dy) — ,f{x, y) ^ d<i + - d^<f ^ î-f/^tp-H.. -H j </"ï + . ..,

on voit que l'expression de l'accroissement d'une fonction de deux variables ne diffère pas de celle qui a été trouvée pour l'accroissement d'une fonction d'une seule variable.

Si c?a;etfi(y sont infiniment petits du premier ordre, chaque terme de ce développement est infiniment petit par rapport au précédent, et l'erreur commise en s'arrér tant à un terme d'ordre n est infiniment petit d'ordre n + i .

V LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. ;!!t7

394. Si dans le développement de ç (a: -i- h,Y-hk), on suppose .r et v égaux tous deux à zéro, on obtiendra le développement d'une fonction quelconque de deux variables, y (A, k) en série ordonnée suivant les puissances des variables h et k, et leurs produits deux à deux. On aura, en remplaçant h et X-, qui sont entièrement arbitraires, par a; et/.

(fi).-K^).-r^["(ê).-"K.^).--''(:0).]-

Le terme complémentaire, lorsqu'on s'arrête après le n''"" terme, est ce que devient l'expression

I r d'<f , </"? nin—i] d"t, «/"si

r.>. !.. /) L «-^ ' dx'-'ar 1.2 ax"-'dr' • (lyj

quand on y remplace dans les diverses dérivées qui y figurent, x par ôor, et j par 5 V, 9 étant un nombre inconnu plus petit que l'unité.

395. L'artifice qui nous a donné les développements précédents, s'étend sans modification au cas où la fonction considérée confient trois ou im plus grand nombre de variables.

Soit (p{x,y, s) une fonction de trois variables x, y, z, auxquelles on attribue respectivement les accroissements h, k, l; pour développer ^{x-h h, y -h k, z -h /), on considérera d'abord la fonction f{x -+- ht, y -\- kl, z ■+- II) que l'on développera en série ordpnnée suivant les puissances de t, et l'on supposera ensuite / = i . On trouve ainsi, absolument comme dans le cas de deux variables,

<f{x-\-/i,X-+- ff,2 +1) =f[x, y.

'//Ii + i/h+i'h

(Ix a y (Iz