Le développement de la fonction
f{x-^li, .r-H/r)
peut se représenter symboliquement sous la forme très-simple
en entendant que l'exponentielle e *** *" sera développée en série comme si l'exposant avait une valeur déterminée, et que, dans les différents termes qui résulteront de la multiplication par y, un produit tel que
-(i)'Ki)''
sera remplacé par
dxP dy-J
Si l'on pose A == Aa;etA= A/, et que A(j) désigne l'accroissement correspondant de «p, on aura symboliquement
et l'on en conclura ,^,
Cette formule a été donnée par Laplace ; elle est entièrement analogue à celle de Lagrange qui a été donnée (343).
Extension de la formule, de Lagrange aux fonctions de deux variables.
397. Soient u eiv deux fonctions des variables x etj, définies par les équations simultanées • *
" = rt 4-X(p(K, f),
v = b-iry-i((u, v).
Proposons-nous de développer une fonction donnée de a et de t» en série ordonnée suivant les puissances de xelAey, et leurs produits deux à deux. Soit z = Y{u,v) la fonction donnée, on a (392)
. r (d"z\ , d"z fd'z\ 1
ft pour connaître la série qui représente z, il faut calculer les valeurs que prennent les diverses dérivées de z par rapport aux variables a; et j, lorsqu'on)- suppose a; et / égaux à zéro. Pour cela nous ferons usage d'un artifice semblable h celui qui a été employé (311) dans le cas d'une fonction d'une seule variable, et qui consistera ici à exprimer les dérivées par rapport à a; et à j en fonction de dérivés par rapport aux variables a et b, dans lesquelles les hypothèses x = o,y = o pourront être introduites avant les opérations et reviendront simplement, comme le montrent les équations ( i ), à faire u=: a el v = b, en sorte que les différentiations s'effectueront ensuite sur des fonctions explicites.
En différentiant les équations (i) par rapport à x, puis par rapport à a, on a
du , , l di du da dv\
du , , l dfi du dm dv\
dv Idi/ du d'if dv\
dfx -^ \du dx Uvdx)
du /rff du dfdv\
du \du du dv da j
dv /</•} du d'if dv \
da ^' \ilu da dv da)
et la forme de ces équations montre, sans qu'il soit nécessaire de les résoudre, que
I, . , ,.., du du dv dv . , .
I on a entre les dérivées -7-» -7-» -7-' -7-' les relations
dx da dx da
du , , '/"
di="f^"''^Ta'
'* dv dv
Si donc z désigne une fonclion quelconque de u et de ç, on a
dz dz du dz dv
dx du dx dv dx '
dz dz du dz dv
da du da dv da
/o< dz dz
(3) . Tx=^^''^'^Ta
On démontrera de même la relation
, , , dz dz
Les équations (3) et (4) résolvent, pour les dérivées du premier ordre, le problème que nous avons énoncé; elles font connaître l'expression des dérivées par rapport à .r et àj en fonction des dérivées par rapport à a et à h\ si l'on y suppose x=o,y—o, elles donnent, en supposant s = F («, t») ,
dz\ ,dF{a,b)
,drJ~^''' d(>
Pour calculer les dérivées d'ordre supérieur, nous ferons usage des relations
qui ont lieu quelle que soit la fonction/(«, v). En effectuant, en effet, les différentiations indiquées dans la première de ces équations, elle devient
(^du dfdv\ du £u__ (dfdudfdvX du dHi
rl„ rl-r- "*" rl„ ri -^ ///, "'"-' ^ ' ' rlr,rl-r--' \ A„ rl^ """ //„ rir, ri ^ "'"-' ^ ' ' '' A -r- ri.
du dx dv dx j da "^ ' dadx \du da dv da) dx •' ^ ' ' dx da
L'e qui, en supprimant les termes communs, se réduit à
dv du du dv
dx da dx da
conséquence évidente des équations ( a ).
La seconde des équations ( 5) se vérifie de la même manière.
Nous pouvons maintenant transfornjer les dérivées de la forme -!^, %^- On a
dx" dy" d^z d f dz''
±± d ( dz\ d V dzl
dx' - dx \di) -d^\j^^ "• 'i-d^y
et par conséquent, d'après la formule (5),
rf'z d V dz'\ d V, dz-\
On en déduit
d d [ , .dzl d d [ , ^dz'\ d' T , , dzl d' T dzl
d'z d d dJ.
et l'on trouvera, en suivant la même marclie,
,(., d'z d"-' r , ^ dzl
dx" da'-' [J'^ ' ' da]
on aura de même
, , d-z d"-' r,, , dzl
Si dans ces formules on fait x = o, y = o, elles deviennent, en supposant toujours z = F(u, v).
. /d'z\ d-' [" ,, dFla,b)l /d"z\ </"-' r,, ,dF{a,b)l
Il reste à calculer les dérivées de la forme
dxi'djJ
On a
d'z d Idz
dx d}
d (dz\ d V , dzl d«{u,v)dz , d'
df{u, y) dz db dZ
par conséquent.
d<f(u, v) dz
d^[H, v) dz
i02 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL UIFPÉRENÏIEL.
! /'. se trouve ainsi exprimé en fonction de dérivées prises par rapport à a et à b,
et pour y supposer x — o,y = o, il suffit de remplacer, avant les différentiations, u par a, et v par h.
d" z Considérons actuellement la dérivée , , . • On a trouvé
dp z de-
dxP daf
11 faut prendre q fois la dérivée de cette expression par rapport à y. Or si l'on pose
et s, = F(z<,, v^ ), on aura, d'après ce qui précède,
dz, , ^ dz, ■
et comme, pour x=.o,u^ et (', deviennent, quel que soit y, égaux à m et à t^ et par suite ;, à s, on a •
/ \ l dfz\ de-' V l dz\ '
^"' [z^pjrd^'lyd^)}
l'indice zéro qui affecte les dérivées .^5 j— ^, se rapportant à la variable x que
l'on suppose égale à zéro. Les variables a; et j étant indépendantes, il est indifférent de faire l'hypothèse a? = o avant ou après la différentiation par rapport à 7, et pour
calculer ( j^^ ^ , j '< nous pouvons par conséquent différentier^ fois l'expression (10) par rapport à 7, et faire ensuite y = o. On a donc
<//■-' d'i r/rfz,
dxPdyij~ daP-' dyi Wdx
Les différentiations par rapport à a; et à j indiquées dans le second membre peuvent être interverties, pourvu que l'hypothèse x = o ne soit introduite que dans
le résultat final. Pour calculer en effet j^-^ et y faire ensuite x = o, y = o, il est
permis, comme on vient de le remarquer, de différentier par rapport à x et de faire ^ = o avant d'effectuer les différentiations par rapport à y. On a donc
d"z \ (//'-' (/ /diz,\ dxPdyiJo ~ daP-' dx \ dy^ ) '
xety devant être supposés nuls dans le second membre après les opérations effectuées.
En appliquant h la fonction :, les résultats généraux obtenus pour la fonction ;, on a
dyi
di-' ( ,, ^ ilzr\
Au lieu de différentier cette expression par rapport à a; et de faire dans le résultat a; = o,v = o, il est évidemment permis d'y supposer jk = o avant d'effectuer la dilTérentiation; mais si l'on pose
u., et l'j se confondant avec u, et i>, quand on suppose y = o, le pioduit
db
dz.
lorsqu'on y suppose j= o, peut être remplacé par -^» et l'on a enfin
\dxed)^ j t
dP-'' d di-
dzi
0 daP-' dx dbi-' \dx I daP-'dbi-' \dxd)
2, étant ce qui devient z lorsque u g\. v sont remplacés par les valeurs «.^ et v.^ définies par les équations ( la). Ces équations étant de même forme que la proposée,
. '".'se déduira de la formule (9), dans laquelle iffu, v) et (]>(«, v) seront respectivement remplacés par oiu, vf, <^{u, v^.
Démonstration fie Jacobi.
.'i98. Le résultat précédent obtenu pour la prcmii-rt' fois pai' l.aplacc a étc démontré par Jacobi par des ((msidéraliotis analo^^Mics à celles qui ont été exposées ^314). ■
La démonstration de Jacobi repose sur l'identitication de deux développements d'une même fonction. Celte identification, ainsi qu'on l'a déjà dit, n'est pas permise sans restriction et suppose des conditions à l'examen descpielles l'illustre auteur ne s'est pas appliqué. La démonstration (jue nous allons faire connaitre laisse doiu'. malgré sa grande élégance, beaucoup à désirer du coté de la rigueur.
Jacobi remarque d'abord (\\\Gf{x,y) ^i'(f<x,y) étant deux fonctions décret dej
tOi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
(léveloppablcs suivant les puissances positives ou négatives des variables, l'expression
df d^dfdj^ ^ ' Ux dy dy dx
([u'il a nommée (71) le déterminant du système des deux fonctions, ne contient
jamais dans son développement de terme en — On a, en effet,
xy
dldj^dldj^d l ill\__d l dj\^ dx dy dy dx dy \ dx) dx \ dyj'
Le développement du premier terme du second membre ne contient pas (314) de terme en -, celui du second terme ne contient pas de terme en -; aucun des deux
ne contient donc de terme en — f et il en est par conséquent de même de leur dif-
xy férence.
L'expression
, , dx dr dy dx
partage la même propriété, quels que soient les nombres /) et y, pourvu que l'un des deux au moins diffère de zéro.
Si l'on pose en effet
l'expression (2) est égale à
df, rfyi df, dtf, dx dy dy dx
et le théorème lui est évidemment applicable.
Lorsque q = o, la démonstration doit être modifiée, mais la conclusion subsiste. On a en effet
