IL

jv ' (^^? 'if^f\ i d l I dx j i d l dy i

/t''+' \dx dy dy dx I p dy \ f f / ]) dx\ f <^e J ' ,-. dx dy 1 ' 1 -1

ur -j et y peuvent se développer en senes ordonnées suivant les puissances des variables.

Si l'on pose en effet

/= A.j/'-x'' -(-A,j'''x'.-f- . . .-t-A,j/".r''" + . . . , on en déduira

Le second terme étant de la forme 1. (i + w) est développable en série ordonnée suivant les puissances de «, et par conséquent suivant celles de x et de 7; le pre-

ier n'est pas développable, mais il a pour dérivée par rapport à or, -, et par rap-

dx dy

loppables en séries ordonnées suivant les puissances de x et de y. Il en est donc de

même des produits— -jr» — -jn et les dérivées de ces produits ne peuvent pas,

par conséquent, contenir de termes en — ;•

Lorsque p est nul en même temps que q, la démonstration est de nouveau en défaut, et cette fois la conclusion cesse d'être exacte. Le développement de l'expression

d<f df d^ df dx dy dydx

port àj, -, ensorteque-V^et-T^-^» c'est-à-dire ^» '^r^> sont l'un et l'autre déve-

contient en général un terme en — On a en effet

r/ip df df df

dxTîy "Jy-dx rfl.y d\.f r/l.y d\.f

f^ dx dy dy dx

Soit I (5)

on en déduit

\.<f(x,y)=\.\,x'''r'' + \. (^n-Afx.".-/''r'-''-4-...), \.f{x,y)=^l.B,x'"<y"' +|. /i ^ ^ ^^ -'",y.-.-", 4-. . .V Si l'on développe en série les seconds termes de chacun des seconds membres.

et qu'on prenne les dérivées par rapport à a; et pur rapport à y, on déduit des équations précédentes :

dy -y^'

d\.f{x, y) ^ m. ^ j^ dx X

d\.f[x, y) ii,

dy y

aucun terme en -ne se trouvant dans les séries désignées par P et R, et aucun terme en - dans les séries Q et S. D'après ces formules, le développement de l'expression (4) contient évidemment un terme en — qui a pour coefficient

xy

[il 7l| V| W,.

On doit remarquer que, d'après le procédé même indiqué pour obtenir le développement, une même fonction peut donner lieu à des séries différentes, car fi,, v,, m,, n,, désignent ici les exposants de a; et de j dans les premiers termes des séries (5), c'est-à-dire évidemment dans deux termes quelconques que l'on aura choisis pour les écrire les premiers. Mais si l'on veut que les séries soient convergentes pour de très-petites valeurs de x et de j, le choix devient forcé, et la condition est souvent même impossible à remplir. Si, lorsque a; est infiniment petit, <p[x,y) peut être considéré comme proportionnel à a;, et/(a;, j) ày, on devra

prendre ii, = i , v, = o, m, = o, n, = i , et le coefficient de — sera l'unité : c'est

xy

la supposition que nous ferons dans les raisonnements qui vont suivre; mais on

voit ici combien le raisonnement de Jacobi laisse à désirer du côté de la rigueur.