CHAPITRE VI

DÉ\ HUIPPEMLNTS EN PRODUITS DIN NO.MBUE INFINI DE lACTEURS.

Condition de convergence des produits infinis.

400. Un produit composé d'un nombre infini de facteurs ne peul évidemment être convergent que si les facteurs tendent vers l'unité lorsque leur rang augmente indéfiniment. Lorsqu'il en est autrement, l'adjonction de chaque facteur nouveau change d'une quantité finie le résultat de la multiplication des facteurs qui précèdent et il ne peut pas y avoir de limite déterminée.

Nous considérerons donc seulement les produits de la forme

(1) P = (H- a, )(( + «,)(>-+- as) ••■(l-f- ««)••-,

dans lesquels a,„ réel ou imaginaire, tend vers zéro lorsque n augmente.

Supposons, en premier lieu, que tous les facteurs considérés soient réels, et (pic, de plus, a, ,«2,..., a„ étant tous de même signe, les facteurs du produit soient tous plus grands ou tous plus petits que l'unité. La condition nécessaire et suffisante pour que le produit ne croisse pas indéfiniment dans le premier cas et ne tende pas vers zéro dans le second est que la série

a.-t-ai. . .-h a„-|- . . .

soit convergente.

Posons en effet

pour que le produit P soit convergent, il faut et il suffit évidemment que, /lélmil irisgrand, il diffère fort peu de P„, et que, par conséquent, le produit des facteurs qui suivent (i -+- a„) diffère très-peu de l'unité ou, ce qui revient au même, que la somme de leurs logarithmes

I ( I -f- a„4-i) -f- I ( I -H a,+.) H- ... -I- I { I -I- ix,.^^)

soit infiniment petite quelque grand que soit/;.

Or, en désignant par k un nombre très-petit, positif ou négatif, on a

l(H-fr) = A— — ,

£ étant moindre que l'unité, mais en différant infiniment peu lorsque k est infiniment petit, on en conclut

E, a -)-£jSt , -H...-4-£„a 1.

Si la série

est convergente, la première partie du second membre est infiniment petite lorsque n est infiniment grand; il en est à fortiori de même de la seconde partie, composée de termes infiniment plus petits, multipliés par des facteurs moindres que l'unité. Le premier membre de l'équation (3) est donc lui-même infiniment petit et le produit P est par conséquent convergent. Si au contraire la série

est divergente, la première partie du second membre de l'équation (3) augmente indéfiniment avec/^, et la seconde partie, qu'elle reste ou non finie, est pour des valeurs croissantes de n, infiniment petite par rapport à la. première. Le premier membre de l'équation (3) augmente donc indéfiniment en valeur absolue, et le produit dont il est le logarithme augmente sans limite ou s'approche indéfiniment de zéro. Le produit P augmente donc lui-même indéfiniment ou s'approche indéfiniment de zéro, et ne doit pas être considéré comme convergent.

401 . La démonstration précédente permet d'énoncer un théorème plus général qui en est évidemment la conséquence: quels que soient les nombres réels a,, a^..., a„, le produit

est convergent lorsque les deux séries

a, -4- aj-l- • .. + «„+...,

sont l'i^ne et l'autre convergentes.

Le produit tend vers zéro lorsque, la première des séries étant convergente, la seconde est divergente.

Ce dernier cas ne pouvant évidemment jamais se présenter lorsque a,, a^--' <z„ sont tous de mêmes signes.

Considérons, par exemple, le produit

('-7î)('"-vi)('-7l)('^7l)---('-^0('^v^riTT)--"

les seconds termes des binômes forment une série convergente, mais leurs carrés forment une série divergente. Le produit a donc zéro pour limite. La première règle conduit à la même conclusion.

Si l'on pose en effet

\ van/ V V^'" + ' /

on a

^■}.n- v''-n + ' ^ ■}. n {■>. n -k- 1 v^2« • v/an -(- i ( v'2n -1- 1 4- v^a/i] ^in.^in-\-\ l'i il est aisé de voir que la série dont a„ est le terme général est divergente.

i02. Dans le plus grand nombre des cas, les théorèmes précédents permettent de prononcer sur la convergence d'un produit en la rattachant à celle d'une série dont l'étude directe est plus facile. Quelquefois cependant la convergence ou la divergence d'un produit est évidente à priori et permet de prononcer sur la série correspondante. Soit, par exemple.

Le produit des n — i premiers facteurs est

P a donc pour limite zéro, et par conséquent la série

est divergente, conformément à ce qui a été dit (228).

403. La convergence d'un produit dont les facteurs sont imaginaires exige que la partie réelle des facteurs s'approche de l'unité et que le coefTIicient de V — i tende vers zéro. Relativement à la convergence des produits de ce genre, nous nous bornerons à démontrer le théorème suivant.

l^ produit

tend vers une limite finie toutes les fois que la série qui a pour terme général le module de u„ , est convergente.

Soit, en effet,

Un— an+ b„\l — I ;

cliacun des deux nombres réels a„ et è„ est moindre en valeur absolue que le module deM„; il résulte, par conséquent, de notre hypothèse, que les valeurs absolues, de a„, ainsi que celles de è„, forment des séries convergentes.

Cela posé, nous démontrerons d'abord que le module du produit (i) ne peut ni tendre vers zéro, ni augmenter indéfiniment.

On a

le module de ce facteur est

^(^ + anY+bl= i+«„+s6„,

£ ayant pour valeur approchée — et tendant par conséquent vers zéro lorsque n augmente. Le module du produit des facteurs qui suivent le n'*'"" est donc

les séries dont les termes généraux sont a„elb„, étant convergentesindépendamment des signes de leurs termes, le théorème (400) prouve que le produit (2) tendrait vers une limite finie, si l'on y remplaçait a„+, , a„+2 , . . . , &„+, , 6„+2 .• • • . par leurs valeurs absolues prises toutes avec le même signe, positif ou négatif; il ne peut donc ni tendre vers zéro ni augmenter indéfiniment. Posons maintenant

(i + «,)('+ «2)- • -(i '^u„)=p„-hq„^^^ nous aurons

On en conclut, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres,

, P«-^i = Pn — h„+,q„ + p„a„+,,

</.,+, = q„ -+- a„+, q„ + h„+,p„ , c'est-à-dire

, , , P»-^ ' — Pn = pna„+. — q„ b„+ , ,

Çn+i — qn= q„ a„+, + p„ b„+, .

En remplaçant successivement dans ces équations n par « -+- i , n + 2 n + r, et

ajoutant entre elles, membre à membre, celles qui proviennent de la première et

celles qui proviennent de la seconde, on trouve

Le module dep„+q„ y/— i ne grandissant pas indéfiniment,/»,, et q„ restent l'un et l'autre inférieurs à une certaine limite, et par conséquent la convergence des séries dont les termes généraux sont les valeurs absolues de a„ et de /-»„, prouve que les seconds membres des équations (5) sont l'un et l'autre infiniment petits, quel que soit r, lorsque n est infiniment grand; p„ vXq„ tendent donc vers des limites déterminées, et, comme nous l'avions annoncé, le produit est convergent. Par exemple, le produit

est convergent, quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de a et de /y; il faut considérer ici comme facteur général le produit

\~ a — nb) \~~ a + nb) ~ \ a'—n^b'j' Nous devons donc poser

Or, quels que soient a et b, la partie réelle et la partie imaginaire d'une telle ex pression sont, l'une et l'autre, pour de grandes valeurs de n, de la forme -^» k„ restant fini

lorsque n augmente indéfiniment, et comme la série dont le terme général est —,■> est

convergente indépendamment des signes de ses termes, le produit (6) est lui-même convergent.

Il faut excepter, bien entendu, le cas où le rapports étantentier, l'un desfaeteurs

du produit serait infini.

Expression de queUiues fonctions sous forme de produits injinis.