On a (40i

siwnx := nx [\ r- ) I I T—r I ' r • • • •

.11 remplaçant sin «a; par l'expression (293), l'identification des coefficients des mêmes puissances de n donne lieu à des séries remarquables. On a

le coefficient de n est dans le second membre

sin^.x' I . Q

sinxH 5 H "• . sin°^-t-, . . ,

et dans le premier il est évidemment égal a x; on a donc

''' . sin'.r i.q

a: = smxH —-\ -• ■ . sin'x-t- . . ..

c'est la série déjà obtenue plusieurs fois (302) (294). En égalant les coefficients de n^ on obtient la formule remarquable

%' / t I \ sin'x sin'a: , , .siii'.r

Tf' \ 4 © / 1.9.3 1.2.3.4.5 -" 1.2.3.4.5.6.7 '^ ^ '

on en conclut, en remplaçant le coefficient de x' par sa valeur,

^-=.sm"^ + __^, + js,n'x + ^^(^, + - + -js.n'x + ...

♦ "^ 4.6.8...2n(2nH-i) [ ' "^ 3"' "^ 5^ ~ (2/1 — i)=J ^'"" ' '^'

formule remarquable donnée pour la première fois par M. Scholtz.

Formule de IVallis .

416". Si dans l'équation

/ x'\ / x'\ ( x^ sina; = X \\ I — -, — I

on fait -x = -, on obtient la formule

chaque facteur qui est une différence de carrés peut être remplacé par un produit, et l'on a

on en déduit

7r 2244^6 2« in

2 I 33557 (^" — i) (2/1+1) formule célèbre que Wallis a découverte par un procédé très-différent.

417. On a rattaché depuis longtemps la formule précédente à une formule de

tIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. iâ3

Slirling, qui fait connaître l'expression approchée du produit i .2... a: pour de ;fraudes valeurs du nombre entier j;.

La formule de Stirling, sur hrquelle nous aurons à revenir, entraîne évidemment celle de Wallis; la réciproque a été établie de la manière suivante par M. Serret :

La formule de Wallis donne

TT ( 2.4.6. ..2w)' ^ ,. (■.a.3...n)'[a-4---(al* — 2»2/i]'

{I.2.3...W)' = lim 2'" , ;- ^ — r— ; ■ V •

si l'on pose

l'équation ( i ) équivaut, comme on le vérifie aisément, à

(3) lim!J7-^-=i.

Or on peut démontrer directement que l'on a aussi ,

(4) lim^^--

^mff-

<f(in)

et la comparaison des équations (3) et (4) exige évidemment que y (/i) ait pour limite l'unité.

Pour prouver l'équation (4). remarquons que l'on a, d'après l'équation (2),

/<^=:(,+irLr"H)'H),

(r + i) e\ xj

or on a, en désignant par 0' et 6" des nombres compris entre zéro et l'unité,

par conséquent

("+-2) ' ("^-) ==" (^" ^'"^3^') -^ Kî-^') ='-^3T'- 4T'' ou enfin, 6" étant un troisième membre plus petit que l'unité en valeur absolue,

i26 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

on en conclut

On déduit de celte formule, en remplaçant successivement a; par a; + \ , œ ■+- 2,..., IX ~ I, et désignant par 5" , ^\,..., C-.. des nombres compris entre -- i et + i,

Multiplions ces équations membre à membre, en remarquant que la valeur absolue de la somme

X' [x-+if [-i.x—x]

est moifidre que — . x, c'est-à-dire que - , nous pourrons écrire, en supprimant tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur du premier membre.

,p(2jr)

Cette équation montre que, x croissant indéfiniment, , a pour limite l'unité

'*' ayant aussi pour limite l'unité, le rapport des deux fractions, c'est-à-dire

9 {x), tend aussi vers l'unité.

En d'autres termes, on a, approximativement, pour de grandes valeurs de a;,