jT = v'^TT e-' x"'^' j

l'erreur relative étant d'autant moindre que x est plus grand : c'est le tbéorème de #tirling.

418. M. Serret, en faisant connaître cette démonstration élégante, a montré qu'elle conduit à une série convergente qui représente exactement le logarithme du produit 1.2. 3... a;, et dont la formule obtenue équivaut au premier terme. Posons en effet comme précédemment

il) y(^)=-^

<^ive-'x'^h on a identiquement

l.f^ = 1 — !li — i 1- Il i-4-. . .H-l —1^ J— -I- U jr -)- Wi -M .

Si m croît indéfiniment, ^ (a; 4- /n -h i) tend vers l'unité et son logarithme tend vers zéro ; on a donc ,

Mai.s l'équation (a), qui sert de définition à ff[x), donne

l{i.2.3.. x)^=: -\it: — x-\-{x + -\\x -^\<f{x), et, en remarquant que l'on a

ar-f- n) 1

<f(x -f-w-H i) e ■I. par conséquent,

\ X-Irnj

(y(j7-t-« ' if (x -t-rt -h 1)

on a enfin

'-^^=^^^' = l'-"-'l"'+ïii;)-

Cette formule a été donnée pour la première fois par M. Gudermann. La démons»tration même prouve que la série est convergente; il est aisé d'ailleurs de s'en a-isiirer directement. Le terme général

est égal en effet à

\^x^n -h- j [^-^ - 2(^ ,„). -+- Kx + nf) ~ '•

> étant plus petit que l'unité; or, en effectuant les multiplications, cette expression se réduit k la somme

\l 4/(x-l-«)»"^6(j'-|-/i)'' |ui est évidemment le terme général d'une série convergente.

EXERCICES