On a par exemple

II I I

••l par conséquent

ou, en prenant les inverses de deux membres et relranclianl l'unité,

Expression d'une fonction sous forme de fraction continue.

426. La reclierelie d'une fraction continue indéfinie équivalente à une fonction donnée est un problème indéterminé, mais qui n'a plus qu'une seule solution lorsque l'on s'impose l'obligation de clioisir les fractions intégrantes qui, pour de petites valeurs de la variable, donnent la plus grande approximation possible.

Soit en effet y [x] une fonction de x, et a la valeur qu'elle prend poura: = o; posons

V étant nul avec x. Soit b la limite du rapport - ■, lorsque x tend vers zéro ; posons

bx

Soit c la limite de - lorsque x tend vers zéro ; posons

ex

Kn continuant ainsi indéfiniment, on obtiendra, pour exprimer 9 {a;), une fraction

continue de la forme

ex

qui est la plus avantageuse que l'on puisse employer pour de petites valeurs de x. [

Il est bien entendu que si l'une des quantités désignées dans le calcul précédent par j, z, u,..., était comparable à une puissance dea^ dont l'exposant fût différent de l'unité, c'est-à-dire si l'une des quantités a, b, c,..., était nulle ou infinie, il faudrait la représenter par une fonction de la forme

kx"

et la fraction intégrante correspondante aurait alors pour facteur au numérateur une puissance de x.

427. Considérons, par exemple, la fonction (i +x)'"; posons et par conséquent

1 — (i-\-x)'" y zzz ^ '- .

Le dénominateur de cette fraction se réduit à l'unité pour x=o, et le rapport - . . a pour limite la dérivée du numérateur, c'est-à-dire a la valeur de

pour a; = o, ou — m.

Posons donc

mx I ■

i-i-z on en déduit

mx (i-hx )'"

en remplaçant (i -fa;)'" par son développement, on trouve aisément que, pour

X — o , - = — - — , on a donc