Considérons encore la fonction

y==ATff\SiX\%X.

Lorsque x est infininaent petit, y est égal à x; posons donc

on en conclut

dy dx-

dr,

Y dx

Ritim^lo/irkTic •' ¥\oi» Q

<\ «•nli^ttn

/> no ce a 11

In.^

(') x(i+.r') .—x'(i-hJ.) +/.('-+- r')=o.

Pour une valeur infiniment petite de x, on sait que la différence j' — x est du troisième ordre; il en résulte que y , est infiniment petit du second ordre; mais l'équation précédente suffit pour le démontrer en déterminant en même temps sa valeur approchée. Posons en effet •

m étant une constante inconnue et* une fonction de^r, qui reste finie lorsque x t'st infiniment petit. L'équation (i) deviendra (45)

jr(n-x»)(OTax"-')(H- t) — j;'(i + xj;")-f-«.ï^("-l-ax") = o,

i étant intiniment petit avec x. Si dans cette équation on suppose .r infiniment petit, le premier terme est d'ordre rn, le second du second ordre, et le troisième d'ordre rn. Or il est évident que la somme des coefficients des termes de l'ordre le plus élevé doit être nulle; on doit donc avoir, si m est moindre que a,

}38 l'RlîMlËRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(0 qui est impossible, et si m surpasse ? ,

ce qui est également impossible puisque y. a, par bypotbèsc, une valeur finie. Il faut donc prendre m—x, et l'on a alors

La valeur approcbée de 7, est donc j, = -^ ai nous poserons

y., étant infiniment petit avec x.

On verra sans peine que j.^ satisfait à l'équation

. .rfi + x^) ^' — X- [^ + }\) +{'i + )\) )\ = o

On en conclut que, pour une valeur infiniment petite de x, y., est du second ordre et a pour valeur approchée %x'^; posons donc

5 H- y\ On verra de même que Vj satisfait à l'équation

et l'on en déduira que, pour une valeur infiniment petite de x, la- valeur approchée de jj est - — ; on posera donc

et l'on aura, en continuant de même,

arc tang x =

\bx-

i29. La transformation des séries est souvent la méthode la plus commode pour obtenir les développements sous forme de fraction continue et en étudier la loi. Nous en indiquerons quelques exemples.

(Citons d'abord la transformation de la série

z 2Z(z + i) i.?..3z(z-|-i)fz-f-2)

donnée par Legendre dans une Note de sa Géoméfrie, et dont il a déduit des consé- (juences remarquables.

On déduit de l'équation (i)

en retranchant les deux équations membre à membre et effectuant la soustraction des termes correspondants dans les seconds membres, on a

c't'st-it-dire, d'après la définition de 9 (z) ,

Divisons par 9 (z 4- 1) les deux membres de cette équation et posons

l'équation (1) devient, comme on le vérifie aisément,

En remplaçant successivement dans cette équation z par s + 1 , : -t- 2, ... on aura

et par conséquent

4i0 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

^ (z), d'après sa détinilion, représentant le quotient

Si l'on pose 5= -) la fraction continue peut évidemment se mettre sous la forme

dans laquelle les numérateurs, excepté le premier, sont égaux à 4«, et les dénominateurs forment la suite des nombres impairs; quanta la fonction i]; ( z), représentée par cette fraction, elle devient, par l'hypothèse z — -,