rt i

2 2.3.4 2.3.4.5.6 Il est aisé de voir que cette fraction équivaut à

On a donc

yrt

3+-^ 5 + iiL

Si l'on pose l\a = a?-, on en conclut

Si l'on suppose x= -, cette formule donne

Or on a

par conséquent

lo-f-— r , <

Cette formule, due à Euler, est la plus avantageuse que l'on puisse cm|)lovcr pour le calcul du nombre e.

V30. La méthode précédente a beaucoup d'analogie avec celle que Gauss a suivie pour réduire en fraction continue la série très-générale

(pii, pour (les valeurs convenablement choisies de a, /5, y, peut représenter la plupart des développements célèbres obtenus jusqu'ici.

On vérifie aisément, en constatant l'identité des coefl'icients des mêmes puissances de a; dans les deux membres, l'égalité

Si doue on pose

G (a, fi, 7, x),

on aura aussi, en remarquant que la fonction F est symétrique par rapport aux lettres a et /3,

L'équation ( i ), divisée par F (a, j3 H- i , 7 h- i , x),' prend la forme

= ''['' ~^\xG{^+ l, ■^,y+ i, X),

'-7|7qr7]^-^^P + ''«'^+''^).

La même formule donne par de simples changements de lettres

G{P + l,a,y-hi,x) =

La fonction G qui figure au dénominateur de cette dernière équation s'exprimera à son tour à l'aide de la même formule, et l'on a enfin

ou 1 on a pose

(7+4)(7 + 5) ' J (y,-5j(.,,Gj '

Si l'on suppose /3 = o, on a évidemment

t't l'équation (3) devient par conséquent, en y remplaçant 7 par 7— i,

(Ix

et la double loi de formation de a, c, e el de b, d, /,..., est évidente.

i31. l/équation précédente fournit le développement de plusieurs fonctions simples.

On a, comme il est facile de s'en assurer,

et la formule (4) donne par conséquent en y faisant a=~n, 7 = 1, et remplaçant X par — X,

^JLtDx

.52. On a

|(H-x)=xF(i, 1,2,— x),

14 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

par conséquent